导数

导数（Derivative）是微积分学中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

定义

函数在某点的导数

导数的定义离不开极限，定义在邻域$U(x_0, \delta)$上的函数$f(x)$，如果$x \in U(x_0, \delta)$，极限 $$\lim _{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$存在，那么就称函数$f(x)$在点$x_0$处可导，并说这个极限值就是函数$f(x)$在这一点处的导数，记作$f'(x_0)$。如果我们把因变量记作$y=f(x)$，那么因变量在点处的导数也可记作$y'|_{x = x_0}$或$\left. \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \right| _{x = x_0}$。

用增量的语言，这个定义式还可以写作如下形式：$$f'(x) = \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim _{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$这个定义给出了函数$f(x)$在点$x$处的导数。

导数的几何意义

定义式中的$\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$是函数图像上两点$(x, f(x))$以及$(x_0, f(x_0))$连线（割线）的斜率，由此我们可以知道，定义式所描述的极限过程，实际上是在这一点$(x_0, f(x_0))$与周围的点$(x, f(x))$做割线，并渐渐逼近，最终成为函数在这一点处的切线。所以函数在某一点处的导数就是在这一点处切线的斜率。

单侧导数

由单侧极限我们可以定义单侧导数，同单侧极限一样，单侧导数也是极限过程被限制在了$x$的左或右邻域上，我们称左极限以及右极限对应的导数分别叫左导数和右导数，即有：$$f'_{-}(x_0) = \lim _{x \to x_0^{-}} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, \quad f'_{+}(x_0) = \lim _{x \to x_0^{+}} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$ 易证函数在某点处存在导数当且仅当函数在这一点的左右导数存在且相等。

函数的导函数

如果在函数$f(x)$的某个定义域子区间$D$内，对于任意的内点$x_0\in D$，导数$f'(x_0)$都存在，对于端点$x_0\in D$，相应的单侧导数存在，那么就称函数$f(x)$在区间$D$上可导，如将每一个自变量和其导数组成一个映射$x \mapsto f'(x)$，这样函数$f'(x)$就称作函数$f(x)$的导函数，简称导数。

导数的性质

可导必连续

如果一个函数在区间上可导，那么它必然在这个区间上连续。

导数无第一类间断点

如果一个函数是某个函数的导数，那么它没有第一类间断点。

求导法则

这里只列出结论，证明详见求导法则一页。 设函数$f(x)$和$g(x)$在$x$点可导。

导数的四则运算

1. $(f \pm g)' (x) = f'(x) \pm g'(x)$；
2. $(fg)' (x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$；
3. 如果$g(x) \ne 0$，那么$\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right)' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x) g'(x)}{g^2 (x)}$。

复合函数的导数

对于复合函数有链式求导原则，例函数$f(g(x))$：
$f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$，亦即$y'_x = y'_u \cdot u'_x$，亦即$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}u} \cdot \dfrac{\text{d}u}{\text{d}x}$
其中$y$是关于$u$的函数，$u$是关于$x$的函数。

反函数的导数

设函数$f(x)$在$x_0$点可导，在$x_0$点一个邻域内严格单调，且$f'(x_0) \ne 0$。设$y_0 = f(x_0)$，则反函数在$y_0$点可导且 $$(f^{-1})' (y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)} = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}.$$

参数方程的导数

对于由参数方程确定的函数

$\begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t). \end{cases}$

$\quad t \in X$

它的导数按这样的方法计算得出：$y'(x) = \dfrac{y'(t)}{x'(t)}.$

例如，椭圆

$\begin{cases} x = a \cos \theta, \\ y = b \sin \theta. \end{cases}$

$\quad \theta \in [0, 2 \pi], a, b > 0$

它的导数$y'(x) = \dfrac{y'(t)}{x'(t)} = \dfrac{b \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\dfrac{b}{a} \cot \theta.$

隐函数的导数

如果方程$F(x, y) = 0$可以确定一个隐函数，那么它的导数求法就是将因变量$y$依旧视作关于$x$的函数，式子两端同时对$x$求导，最后反表示出$y'(x)$即可。

例如开普勒方程$x = y - \varepsilon \sin y$（$\varepsilon \in (0, 1)$）。
等式$x = y(x) - \varepsilon \sin y(x)$两边对$x$求导，即$1 = y'(x) - \varepsilon y'(x) \cos y(x)$，反解出$y'(x) = \dfrac{1}{1 - \varepsilon \cos y}.$

对数求导法

参见对数求导法。

上下节

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• 偏导数
• 微分
• 方向导数
• 复变函数的导数
• 向量值函数的导数

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.