对角矩阵

对角矩阵（diagonal matrix）是一类十分特殊的矩阵，它是只有对角线上有非零元而其它元素均为零的一类方阵，这类方阵对应的线性变换是伸缩变换。对角矩阵在矩阵有关计算中应用广泛。

定义

设$D = (d_{ij}) \in \mathbb{P}^{n \times n}$，如果有$a_{ij} = 0, i \ne j, i,j = 1,2,\cdots,n$，就称$A$是一个对角矩阵，常记作$D_{d_i,n}$，其中$d_i = a_{ii}, i = 1,2,\cdots,n$。

对角矩阵中对角线上元素都相等的矩阵称为数量矩阵，单位矩阵、零矩阵都是对角矩阵。

性质

• 对角矩阵的特征值就是所有对角线上的元素；
• $|D_{d_i, n}| = d_1 d_2 \cdots d_n$；
• 设有对角阵$D_{d_i,n}, D_{f_i,n}$，那么$D_{d_i,n} + D_{f_i,n} = D_{(d_i+f_i),n}$，$k D_{d_i,n} = D_{kd_i,n}$，$D_{d_i,n} D_{f_i,n} = D_{(d_if_i),n}$；
• 设$D_{d_i,n}$满足$d_i \ne d_j, i \ne j$，如果$A$与$D_{d_i,n}$可交换，那么$A$也是对角矩阵；
• 对角矩阵的逆，就是将对角线上每个元素取倒数得到，只有在对角线上没有$0$时矩阵才有逆。

上面的第四条，我们一般习惯说“与对角矩阵可交换的是对角矩阵”，但它有个隐含的前提：对角线上的元素两两互异，缺少这个条件是不能推得相关结论的，一个反例就是单位矩阵。

准对角矩阵

准对角矩阵又称分块对角矩阵，是指如下形式的矩阵 $$\begin{pmatrix}A_1\\&A_2\\&&\ddots\\&&&A_n\end{pmatrix}$$ 它也有类似于对角矩阵性质第三条的性质，此外

• $|A| = |A_1||A_2|\cdots|A_s|;$
• 准对角矩阵的逆，就是将对角线上每个矩阵取逆得到，只有在对角线上所有矩阵可逆时原矩阵才有逆。
• 设$D = \begin{pmatrix}a_1E_{n_1}\\&a_2E_{n_2}\\&&\ddots\\&&&a_sE_{n_s}\end{pmatrix} \in \mathbb{P}^{n \times n}$，且$\sum_{k=1}^s n_k = n, a_i \ne a_j, i \ne j, i,j=1,2,\cdots,s$，则与$D$可交换的$A$具有如下分块形式$$A = \begin{pmatrix}A_1\\&A_2\\&&\ddots\\&&&A_s\end{pmatrix}$$其中，$A_i$是$n_i$阶方阵，$i = 1, 2, \cdots, s.$

伸缩变换

我们称一个线性空间$V$上的线性变换$\mathcal{A}$是伸缩变换，是指对某一$V$的一组基$\{ e_i \}_{i \in I}$中的一个向量$e_i$，都有$\mathcal{A}e_i = k_i e_i$，其中$k_i$是仅依赖于$e_i$的常数，可以证明，如果$V$的维数为$n < +\infty$，那么伸缩变换在这组基底下的矩阵就是对角矩阵$D_{k_i, n}.$

上下节

• 上一节：矩阵的逆
• 下一节：初等矩阵

参考资料

1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.