对称算子

对称算子（symmetric operator）是 Hilbert 空间上的一类特殊的线性算子。

定义

假设$H$是 Hilbert 空间，定义在$D(A)\subset H$上的线性算子$A$，如果满足： $$(Ax,y)=(x,Ay),\quad \forall x,y\in D(A),$$ 我们就说$A$是对称的，对称算子的等价定义是$G(A)\subset G(A^{*}).$特别地，自伴算子是对称的。

如果$A$是有界的线性算子，那么对称性和自伴性就没有什么差别了，因此我们在研究对称性的时候大多关注的算子是无界的。另外算子的闭性是一个十分重要的概念，自伴算子就是一类经典的闭算子，我们自然希望研究对称算子的时候也具有这种闭性，当然对称算子本身可以不是闭的，但它一定是可闭的：

闭延拓

对任意 Hilbert 空间$H$上定义在稠密子空间$D(A)$上的对称线性算子而言，它的闭包$\overline{A}$总是存在。

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定义$D({\overline {A}})$收集这样的$x \in H$：存在一个序列$\{x_{n}\}\to x\in H$且$\{Ax_{n}\}\to y\in H$，首先它是线性子空间且$D(A)\subset D({\overline {A}})$，而${\overline {A}}x$就定义为上述$\{ Ax_n \}$的极限$y$，我们要证明：

1. $\overline{A}$良定义，即值不依赖于序列的选取，若另有$\{x_{n}'\}\to x\in H$且$\{Ax_{n}'\}\to y'\in H$，那么对任意的$h\in D(A)$都有$${\begin{aligned}(h,y-y')&=\lim _{n\to \infty }(h,Ax_{n}-Ax_{n}')\\&=\lim _{n\to \infty }(Ah,x_{n}-x_{n}')\\&=\lim _{n\to \infty }(Ah,x-x)=0.\\\end{aligned}}$$
2. $\overline{A}$是线性的且${\overline {A}}|_{D(A)}=A$，按照上述定义方式以及良定义性的到。
3. $\overline{A}$是对称的：对任意的$x,y\in D({\overline {A}})$，存在$\{x_{n}\},\{y_{n}\}\subset D(A)$使得都有$$(x,{\overline {A}}y)=\lim _{n\to \infty }(x_{n},{\overline {A}}y_{n})=\lim _{n\to \infty }({\overline {A}}x_{n},y_{n})=({\overline {A}}x,y).$$
4. $\overline{A}$是闭的：假设$\{x_{n}\}\subset D({\overline {A}})$满足$\{{\overline {A}}x_{n}\}\to y\in H$，那么对每个$n \in \mathbb{N}^+$存在$x_{n}'\in D(A)$使得$$\|x_{n}-x_{n}'\|<{\dfrac {1}{n}},\quad \|{\overline {A}}x_{n}-Ax_{n}'\|<{\dfrac {1}{n}}$$（${\overline {A}}x_{n}$的定义），于是$x_{n}'\to x,Ax_{n}'\to y$，于是按照$\overline{A}$的定义得到$x\in D({\overline {A}})$以及${\overline {A}}x=y.$
5. $\overline{A}$是$A$的极小闭延拓：任意$x\in D({\overline {A}})$一定在$A$的任意闭延拓的定义域中，这是因为，任意$A$的闭延拓$B$必须保证闭性：$x_{n}\to x\in H$以及$Bx_{n}\to y\in H$蕴含$x\in D(B)$以及$y=Bx$，这就使得$D({\overline {A}})\subset D(B).$

假设$\overline{A}$是 Hilbert 空间$H$上的稠定对称线性算子$A$的闭包，那么$({\overline {A}})^{*}=A^{*}.$

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由于$A\subset {\overline {A}}$（这个符号的意思是${\overline {A}}|_{D(A)}=A$，或者$G(A)\subset G({\overline {A}})$），那么$({\overline {A}})^{*}\subset A^{*}$，下面我们证明另一部分：令$y\in D(A^{*}),x\in D(A)$，那么 $$({\overline {A}}x,y)=\lim _{n\to \infty }(Ax_{n},y)=\lim _{n\to \infty }(x_{n},A^{*}y)=(x,A^{*}y).$$ 于是根据伴随算子的定义就有$y\in D(({\overline {A}})^{*})$且$({\overline {A}})^{*}y=A^{*}y.$

于是根据上面的定理，我们可以总是假设一个对称算子是闭算子，尽管它本身可能不闭，但是我们可取闭包得到一个闭算子。

亏指标

上面的定理是抽象的，并未给出一种有关闭算子的结构上的刻画，下面我们从另一个角度来看闭延拓。由于$A$是$H$上的稠定对称线性算子，$A \subset B$意味着$B^{*}\subset A^{*}$，结合对称性$B\subset B^{*}$可以得到$A$的任意对称扩张都是$A^*$的一个限制，由于$B$对称，对任意的$y\in D(B)$，二次型$(By,y)$是实的，于是由$D(B)\supset D(A)$以及$(By,y)=(A^{*}y,y)$就得到$D(B)\subset \Gamma$，其中$\Gamma$是使得$(A^{*}y,y)$是实数的$y\in D(A)$的全体（他未必是线性子空间）。反过来，如果$L$是线性子空间且满足$D(A)\subset L\subset \Gamma$，那么$B=A^{*}|_{L}$是$A$的一个对称延拓。

下面我们引入一种十分巧妙的思想，通过将上述二次型的实性引入到复空间上，得到复化算子，从而研究原对称算子的性质。

假设$A$是 Hilbert 空间$H$上的稠定的闭的对称线性算子，定义$L_{i}=\{Ax+ix:x\in D(A)\}$，那么它在$H$中闭进而$H$有直和分解$H=L_{i}\oplus N_{i}$，同样用$-i$代替$i$得到$H=L_{-i}\oplus N_{-i}.$其中$N_i$是$i$对应$A^*$的特征子空间。

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首先$L_{i}=R(A+iE)$是一个线性子空间，其次对任意的$y=Ax+ix\in L_{i}$而言，我们有 $$\|(A+iE)x\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|x\|^{2}+(Ax,ix)+(ix,Ax)=\|Ax\|^{2}+\|x\|^{2}\geqslant \|x\|^{2}.$$ 如果$\{y_{n}=(A+iE)x_{n}\}\to y_{0}$，那么$\|y_{n}-y_{m}\|\to 0$进而$\|x_{n}-x_{m}\|\to 0$，由$H$的完备性得到存在$x_{0}\in H$使得$\{x_{n}\}\to x$进而

$\{x_{n}\}\subset D(A)$，$\{x_{n}\}\to x_{0}\in H$，$Ax_{n}=y_{n}-ix_{n}\to y_{0}-ix_{0}$。

由$A$的闭性得到$x_{0}\in D(A)$且$Ax_{0}=y_{0}-ix_{0}$即$y_{0}\in L_{i}.$

进一步，$z\in H$和$L_i$正交当且仅当对任意的$x \in D(A)$成立$(z,Ax+ix)=0$，当且仅当$(Ax,z)=(x,iz)$，当且仅当$z\in D(A^{*})$且$A^{*}z=iz$，这就表明$L_i$的正交补空间是$N_i$。

下面这个引理是我们引入亏指标的依据：

假设$A$是 Hilbert 空间上的稠定闭对称线性算子，那么$D(A^*)$有如下直和分解： $$D(A^{*})=D(A)\oplus N_{i}\oplus N_{-i}.$$

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假设$y\in D(A^{*})$，那么对于$A^{*}y-iy\in H$存在$x \in D(A)$以及${\tilde {z}}_{0}\in N_{-i}$（上一个引理）得到$$A^{*}y-iy=Ax-ix+{\tilde {z}}_{0}.$$ 我们只要证明$y$有如下分解 $$y=x+\left(x-y-{\dfrac {1}{2}}i{\tilde {z}}_{0}\right)$$ 即可，验证过程略去。至于分解的唯一性，假设$y$有如下两个分解 $$y=x+z+{\tilde {z}}=x_{1}+z_{1}+{\tilde {z}}_{1}.$$ 那么我们有 $$(x-x_{1})+(z-z_{1})+({\tilde {z}}-{\tilde {z}}_{1})=0.$$ 同时用$A^*$作用，得到 $$A(x-x_{1})+i(z-z_{1})-i({\tilde {z}}-{\tilde {z}}_{1})=0.$$ 倒数第二个式子乘$i$和倒数第一个式子做差，得到 $$[A(x-x_{1})-i(x-x_{1})]-2i({\tilde {z}}-{\tilde {z}}_{1})=0.$$ 于是由二者的正交性得到${\tilde {z}}={\tilde {z}}_{1}$，类似地得到$z=z_{1}$，最后得到$x=x_{1}.$

可以证明，将上述复单位元$i,-i$换为任意的复数$\lambda ,{\overline {\lambda }}$，且${\text{Im}}\lambda >0$，那么分解 $$D(A^{*})=D(A)\oplus N_{\lambda }\oplus N_{\overline {\lambda }}$$ 依然存在，且$N_{\lambda },N_{\overline {\lambda }}$的维数和$\lambda$的选取无关，这个维数对称为是$A$的亏指标（deficiency index）。

对称延拓

下面我们着重来借助亏指标的概念对一个闭的对称线性算子能否继续做对称延拓进行讨论。

对于 Hilbert 空间$H$上的稠定闭对称线性算子$A$而言，任意$A$的对称延拓$B$都对应了两个线性子空间$T_{i}\subset N_{i},T_{-i}\subset N_{-i}$以及一个$T_i$到$T_{-i}$的等距同构算子，且满足

1. $D(B)$中的任意元素有分解$y=x+z+Uz\in D(B)$，其中$x\in D(A),z\in T_{i}.$
2. 对上述$y\in D(B)$我们都有$By=Ax+iz-iUz.$

反过来，给定两个线性子空间$T_{i}\subset N_{i},T_{-i}\subset N_{-i}$以及一个$T_i$到$T_{-i}$的等距同构算子，那么按照上面两个条件定义的算子$B$是$A$的一个对陈延拓。

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证明参见L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3 Ed.)[§7.7], International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.

假设$B$是$A$的对称延拓，$B$是闭算子当且仅当上个定理定义的$T_{i},T_{-1}$是闭子空间。

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如果$B$是闭的，根据这个引理得到$L_{i}'=\{Bx+ix|x\in D(B)\}$是闭的；如果$B$不是闭的，那么它总存在一个真的闭的对称延拓$C$，这样，对于$C$对应的$L_{i}''=\{Cx+ix|x\in D(C)\}$，总存在一个元素$x\in D(C)\setminus D(B)$使得存在$\{x_{n}\}\subset D(B)$满足$x_n \to x$，$Bx_{n}=Cx_{n}\to Cx$，因此$\{y_{n}=Bx_{n}+ix_{n}\}\subset L_{i}'$但是其极限$Cx+ix\notin L_{i}'$。

进而我们归结于证明$T_{i},T_{-i}$闭当且仅当$L_{i}'$闭。实际上，对任意$y\in D(B),y=x+z+{\tilde {z}}$，其中$x\in D(A),z\in T_{i},{\tilde {z}}\in T_{-i}$我们有 $$By+iy=Bx+iz-iUz+ix+iz+iUz=Ax+ix+2iz.$$ 于是 $$L'_{i}=L_{i}+T_{i}.$$ 由于$T_{i}\subset N_{i}$且$L_i$与$N_i$的交集平凡，这就说明上述求和是直和，因此$T_{i},T_{-i}$闭当且仅当$L_{i}'$闭。

进而我们就有

对于 Hilbert 空间$H$上的稠定闭对称线性算子$A$的一个闭对称延拓$B$而言，如果记$N_{\pm i},N'_{\pm i}$分别是$A, B$对应于$\pm i$的特征子空间，$D(B)=D(A)+T_{i}+U(T_{i})$，那么 $$N_{i}=N'_{i}\oplus T_{i},\quad N_{-i}=N'_{-i}\oplus T_{-i}.$$

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根据这个引理以及这个引理可知，$H=L_{i}'\oplus N_{i}'=L_{i}\oplus T_{i}\oplus N_{i}$。同时又因为$H=L_{i}\oplus N_{i}$，我们就得到$N_{i}=N'_{i}\oplus T_{i}$，另一个同理。

最终，我们可以借助亏指标对闭对称延拓的所有可能情形做出讨论：对于一个对称算子$A$，我们记$m_{1}=\dim N_{i},m_{2}=\dim N_{2}.$

1. 如果$m_{1}=m_{2}=0$即$D(B)=D(A)$对任意$A$闭对称延拓算子$B$都成立，特别地，取$B=A^{*}$，这样我们就有$D(A^{*})=D(A)$即$A$是自伴算子。
2. 如果$0<m_{1}=m_{2}=m<+\infty$，于是$N_{i},N_{-i}$等距同构，分别任取$N_{i},N_{-i}$的两组完备标准正交基$\{e_{k}\}_{k=1}^{m},\{e'_{k}\}_{k=1}^{m}$，那么算子$U$就定义为$e_{k}\mapsto e'_{k}$生成的$N_{i}\to N_{-i}$的连续线性算子，这样，为了得到$A$的极大闭对称延拓$B$，我们只需要取$T_{i}=N_{i},T_{-i}=N_{-i}$即可，这样$$D(B)=D(A)+N_{i}+U(N_{i}).$$算子$B$是自伴算子，这个时候$A$的极大延拓是自伴延拓。
3. 如果$0<m_{1},m_{2}<+\infty ,m_{1}\neq m_{2}$，不妨假设$m_{1}<m_{2}$，任取$N_{i},N_{-i}$的两组完备标准正交基$\{e_{k}\}_{k=1}^{m_{1}},\{e'_{k}\}_{k=1}^{m_{2}}$，那么算子$U$就定义为$e_{k}\mapsto e'_{k}~(k=1,2,\cdots ,m_{1})$生成的$N_i$映入$N_{-i}$的连续线性算子，这样取$T_{i}=N_{i}$而$N_{-i}$是$\{e'_{k}\}_{k=1}^{m_{1}}$生成的子空间，那么$A$的极大闭对称延拓$B$，这个延拓对应的指标是$\dim N_{i}'=0,\dim N_{-i}'=m_{2}-m_{1}>0$，这只是一个新的对称算子而非自伴算子，称这样的$B$是极大对称算子（当然自伴算子也可以认为是极大的对称算子）。
4. 如果$m_1,m_2$其中一者是无穷（不妨假设后者是无穷），那么按照上面的类似的想法就会得到闭对称延拓$B$满足$\dim N_{i}'=0,\dim N_{-i}'=\infty$。
5. 如果$m_1,m_2$都是无穷，不妨我们只考虑$H$可分的情况，这个时候$N_{i},N_{-i}$的维数都是可数无穷，我们按照上面的方式做延拓，可以得到下面三种情况，在这种情况下，$A$既可以有自伴延拓，也可以有极大的对称延拓，也可以都没有：
   1. $m_1,m_2$其中一者维数是零，另外一者维数也是零，例如让$N_{i},N_{-i}$的完备标准正交基中的元素一一对应。
   2. $m_1,m_2$其中一者维数是零，另外一者维数是有限正整数$l$，例如让$N_i$的完备标准正交基中的第$k$个元素与$N_{-i}$中第$k+l$个元素一一对应。
   3. $m_1,m_2$其中一者维数是零，另外一者维数是无穷，例如让$N_i$的完备标准正交基中的第$k$个元素与$N_{-i}$中第$2k$个元素一一对应。

前两种情况是我们最关注的，即只要$A^*$对应于$i,-i$的特征子空间的维数相等，那么$A$就有自伴延拓，否则就不存在这样的延拓。

参考资料

1. L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.), International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.

参考资料

1. L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.), International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.