在线性代数中,对称矩阵(symmetric matrix)是经常研究的一类矩阵,在有限维实内积空间中对应的对称变换是一类在标准正交基下为对称矩阵的线性变换。
关于复线性空间上的对称矩阵,参见 Hermite 矩阵与复对称矩阵。
定义[]
称是对称矩阵,如果,特别地,如果,就称是实对称矩阵。
设有 Euclid 空间,,那么称是对称变换,如果。
是对称变换,当且仅当它在任意(或某一)标准正交基下的矩阵为对称矩阵。
性质[]
对 Euclid 空间,以下总假设是实对称变换,是在某一标准正交基下的矩阵。
- 恰有个实特征根;
- 一定可以相似对角化;
- 如果是的不变子空间,那么也是的一个不变子空间;
- 相对于不同特征根的特征向量彼此正交,但同一特征根的特征向量之间未必正交,纵然它们线性无关;
- 是对称的,当可逆时也是对称的;
- 若也是对称的,对称当且仅当;
- ;
- 上的两个实对称矩阵可交换,则它们在中有公共的特征向量;
- 如果是可交换的是对称矩阵,那么存在一个正交矩阵,使和同时为对角阵。
此外,在阶矩阵的全体组成的线性空间上,阶对称矩阵的全体组成的线性空间,且。
Hermite 矩阵[]
Hermite 矩阵是实对称矩阵在复数域上共轭转置意义下的推广,它是指满足的复矩阵,它的主对角线上的元素都是实数,其特征值也是实数。
上下节[]
参考资料
- 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN
978-7-0304-0417-6
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