对数 Γ 函数

对数 Γ 函数是 Γ 函数的对数，它和 Riemann ζ 函数有一定关联。

概念

设$\Gamma(z)$代表 Γ 函数，那么$\ln \Gamma(z)$称为对数 Γ 函数。而 $$\psi(z) := \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \ln \Gamma(z) = \dfrac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$$ 称作 Γ 函数的对数微商。不难验证有 $$\psi(z+n) = \psi(z) + \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{z+k}.$$

简单关系式

1. $\psi(1-z) - \psi(z) = \pi \cot \pi z.$
2. $\psi(z) = - \gamma - \dfrac{1}{z} + \sum_{n=1}^\infty \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{z+n} \right) = -\dfrac{1}{z} + \lim_{m \to \infty} \left( \ln m - \sum_{n=1}^m \dfrac{1}{z+n} \right).$
3. $\psi(z) = \int_0^\infty \left( \dfrac{\text{e}^{-t}}{t} - \dfrac{\text{e}^{zt}}{1 - \text{e}^{-t}} \right) \mathrm{d}t.$
4. $\psi(z+1) = - \gamma + \sum_{n=1}^\infty \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{z+n} \right)$，令$z=0$得到$\psi(1) = \Gamma'(1) = - \gamma.$
5. $\psi(z) = - \gamma + \int_0^\infty \left( \dfrac{\text{e}^{-t} - \text{e}^{-zt}}{1 - \text{e}^{-t}} \right) \mathrm{d}t.$
6. $\psi(z) = \ln z + \int_0^\infty \left( \dfrac{1}{t} - \dfrac{1}{1 - \text{e}^{-t}} \right) \text{e}^{-zt} \mathrm{d}t.$

Binet 公式

Binet（比涅）第一公式：$\ln \Gamma(z) = \left( z - \dfrac{1}{2} \right) \ln z - z + \dfrac{1}{2} \ln (2\pi) - \int_0^\infty \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{t} - \dfrac{1}{1 - \text{e}^{-t}} \right) \dfrac{\text{e}^{-zt}}{t} \mathrm{d}t.$ 这里要求$\text{Re} z > 0.$

Binet（比涅）第二公式：$\ln \Gamma(z) = \left( z - \dfrac{1}{2} \right) \ln z - z + \dfrac{1}{2} \ln (2\pi) + 2 \int_0^\infty \dfrac{\arctan({t \over z})}{\text{e}^{2 \pi t} - 1} \mathrm{d}t.$ 这里要求$\text{Re} z > 0.$

参考资料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.