对数留数

复变函数论中，对数留数及辐角原理是留数的又一重要应用，它可以辅助确定一个解析函数在某区域上的零点个数。

对数留数

设复变函数$f(z)$在复周线$C$上解析且非零，在周线内部区域上亚纯，我们就称积分 $$I = \dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_C \dfrac{f'(z)}{f(z)}\mathrm{d}z$$ 为函数$f(z)$在$C$上的对数留数，它的取名由来是$\dfrac{f'(z)}{f(z)} \mathrm{d}z = \mathrm{d} \ln f(z).$

对数留数可以反映该曲线内部函数的零点和极点个数问题，可以证明，如果用$N(f, C)$表示函数$f(z)$在复周线$C$内的零点个数（$n$阶零点按$n$个零点计算），用$P(f, C)$表示函数$f(z)$在复周线$C$内的极点个数（$m$阶极点按$m$个极点计算），那么我们可以得到 $$\dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_C \dfrac{f'(z)}{f(z)}\mathrm{d}z = N(f, C) - P(f, C).$$

辐角原理

设复变函数$f(z)$在复周线$C$上解析且非零，在周线内部区域上亚纯，那么$f(z)$在$C$上的对数留数等于$z$沿着$C$的正向行进一周后函数值$f(z)$的辐角改变量除以$2\pi$，即 $$\dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_C \dfrac{f'(z)}{f(z)}\mathrm{d}z = N(f, C) - P(f, C) = \dfrac{\Delta_C \arg f(z)}{2\pi}.$$

Rouche 定理

鲁歇定理：设复变函数$f(z), g(z)$在复周线$C$内部解析，边界$C$上连续，且在$C$上$|f(z)| > |g(z)|$，则$f(z)$和$f(z) + g(z)$在$C$的内部有同样多的零点（$n$阶零点按$n$个零点计算）。

上述定理可以做如下推广，让函数仅在复周线内部亚纯，即
设复变函数$f(z), g(z)$在复周线$C$内部亚纯，边界$C$上连续，且在$C$上$|f(z)| > |g(z)|$，则 $$N(f+g, C) - P(f+g, C) = N(f, C) - P(f, C).$$

上下节

• 上一节：留数的应用
• 下一节：解析变换

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.