对数正态分布

在概率论中，对数正态分布是一个连续型概率分布，在某些情况下，它比正态分布拟合某些随机变量效果要好。

模型

设连续型随机变量$X$的概率密度函数是 $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma x} \text{e}^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}, \sigma > 0, & x > 0, \\ 0, & x \leqslant 0. \end{cases}$$ 我们就说随机变量$X$服从正态分布，记作$X \sim LN(\mu, \sigma^2)$。当$X \sim N(0, 1)$时称为标准对数正态分布。

它的分布函数是 $$F(x) = \begin{cases} \displaystyle{\int_0^x} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma x} \text{e}^{-\frac{(\ln t-\mu)^2}{2\sigma^2}} \mathrm{d}t, & x > 0, \\ 0, & x \leqslant 0. \end{cases}$$

不同的sigma对应的对数正态分布概率密度图像（mu=0）

R 语言的对数正态分布密度函数为dlnorm，分布函数为plnorm，一些不同$\sigma$参数（$\mu = 0$）的对数正态分布密度函数和分布函数为

模型的导出

利用正态分布可以导出对数正态分布：设随机变量$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则随机变量$Y = \text{e}^X \sim LN(\mu, \sigma^2)$。

显然，随机变量的函数$y = \text{e}^x$是严格单调递增的，所以当$y>0$时 $$F_Y (y) = P \{ \text{e}^X < y \} = P \{ X < \ln y \} = \int_{-\infty}^{\ln y} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \text{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \mathrm{d}x.$$ 于是，对上式求导 $$f_Y (y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma y} \text{e}^{-\frac{(\ln y - \mu)^2}{2\sigma^2}} \mathrm{d}y.$$ 这就是$y>0$时的概率密度函数，当$y \leqslant 0$时，密度函数$f_Y (y) = 0$。

数字特征

若$X \sim LN(\mu, \sigma^2)$，那么它的数学期望和方差分别为$E(X) = \text{e}^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}, D(X) = \text{e}^{2\mu+\sigma^2}(\text{e}^{\sigma^2}-1).$

上下节

• 上一节：正态分布
• 下一节：Cauchy 分布

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.