对数分布

在概率论中，对数分布（logarithmic distribution）或称对数级数分布，是一类离散概率分布，它在遗传学和物理里有一些应用。

模型

假设离散型随机变量$X$的概率分布律是 $$P \{ X = k \} = - \dfrac{1}{\ln(1-p)} \dfrac{p^k}{k}, \quad k = 1,2,\cdots$$ 其中$p \in (0, 1)$，我们就称$X$服从参数为$p$的对数分布，记作$X \sim \text{Log}(p).$

它的分布函数是 $$F_{Y}(y) = \begin{cases} 0, & y < 1 \\ 1 + \dfrac{B_p (k+1,0)}{\ln(1-p)}, & y \in [k, k+1), & k = 1,2, \cdots. \end{cases}$$ 其中$B_{p}$是不完全 Β 函数。该分布的规范性由对数函数的级数展开确定，故名对数分布。

数字特征

随机变量$X \sim \text{Log}(p)$的数学期望和方差分别为 $$\begin{align} E(X) & = - \dfrac{1}{\ln(1-p)} \dfrac{p}{1-p}, \\ D(X) & = - p \dfrac{p+\ln(1-p)}{(1-p)^2 \ln^2 (1-p)}. \end{align}$$ 特征函数为 $$\varphi(t) = \dfrac{\ln \left(1 - p \text{e}^{\text{i}t} \right)}{\ln (1-p)}.$$

和其他分布的关系

假设有相互独立的随机变量序列$\{ X_k \}_{k=1}^n$，它们均服从$\text{Log}(p)$，且另有与上述随机变量序列独立的服从 Poisson 分布的随机变量$N \sim P(\lambda)$，那么$Y = \sum_{k=1}^N X_k$服从负二项分布。

证明如下：$X_k$和$N$的母函数分别为 $$A(s) = \dfrac{\ln(1-ps)}{\ln(1-p)}, \quad B(s) = \text{e}^{\lambda(s-1)}.$$ 由整随机变量个整随机变量的母函数性质可得$Y$的母函数为 $$\begin{align} C(s) & = \text{e}^{\lambda(A(s) - 1)} \\ & = \text{e}^{-\lambda} (1-ps)^{\frac{\lambda}{\ln(1-p)}} \\ & = \left( \dfrac{1-p}{1-ps} \right)^{\frac{\lambda}{-\ln(1-p)}}. \end{align}$$ 这里使用了$\text{e}^{-\lambda} = (1-p)^{\frac{\lambda}{-\ln(1-p)}}.$由于$r := \dfrac{\lambda}{-\ln(1-p)} > 0$，因此由母函数的唯一性可知$C(s)$是负二项分布的母函数，参数为$1-p, r.$

矩估计

含有参数$p$的对数级数分布族，参数$p$的矩估计量是$1 - \dfrac{\overline{X}}{\overline{X^2}}.$

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.