对合矩阵

在线性代数中，对合矩阵（involutory matrix）是一类特殊的非奇异方阵，它对应的线性变换是作用两次等同恒等变换的一类线性变换。一个常见的对合矩阵的例子是反射。

定义

假设有域$\mathbb{P}$上的矩阵$A \in \mathbb{P}^{n \times n}$，如果满足$A^2 = E$，我们就称$A$是对合矩阵，显然对合矩阵是可逆矩阵且$A = A^{-1}.$它是矩阵特殊正交群中的二阶元，且所有的n阶对合矩阵构成了n阶特殊正交群的一个正规子群，且是交换群。

实数域上一维的对合矩阵只有$\pm 1$，二维的对合矩阵为$\pm E$或$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}, a^2+bc=1.$

性质

假设$A, B$是$n$阶对合矩阵，那么

1. $A^{\text{T}}, A^{-1}$都是对合矩阵。
2. $A$的特征值只可能是$\pm 1$。
3. $AB$是对合矩阵当且仅当$AB = BA.$
4. $r(A+E) + r(A-E) = n.$
5. 若$n$是奇数，那么$A, B$有公共特征向量。
6. 若$n$是偶数，那么$A, B$有公共的一维或二维的不变子空间。

其它性质：

1. 正交矩阵，实对称矩阵，对合矩阵之间两两互相蕴含。
2. 假设$n=2$，$A \ne \pm E$，则$A+E, A-E$的秩为一。
3. 假设$n = 3$，$A \ne \pm E$，则$A+E, A-E$其中一个秩为二，另一个秩为一。
4. 如果$A$和$B$都是$n$阶方阵，$2A=B+E$，那么$A$是幂等矩阵（即$A^2 = A$）当且仅当$B$是对合矩阵。
5. 假设$A$是方阵且$A+E$可逆，那么定义$\mathbb{P}^{n \times n}$上的线性变换$\mathcal{B}(A) := (E-A)(E+A)^{-1}$，那么$\mathcal{B}^2(A) = A.$
6. 假设$A$是$V$上的对合线性变换，那么$V$有直和分解$V = V_1 \oplus V_{-1}$，其中$V_1, V_{-1}$分别是特征值$\lambda = 1, -1$对应的特征子空间。

镜面反射

一个对合线性变换的具体例子是镜面反射，或称反射。假设取定$x_0 \in \R^n, x_0 \ne 0$，在$\R^n$上定义了如下的一个线性变换： $$A(x) = x - \dfrac{2(x, x_0)}{(x_0, x_0)} x_0, \quad \forall x \in \R^n.$$ 我们就说这样的线性变换是镜面反射，它显然是对合矩阵且存在$\R^n$的一组标准正交基使得$A$的表示矩阵是 $$\begin{pmatrix} -1 & O \\ O & E_{n-1} \end{pmatrix}.$$ 这等价于$1$是$A$的特征根且$\dim \text{Ker}(A-E) = n-1.$

两个模长相等的向量可以通过镜面反射将其中一个变为另一个，进一步，正交变换可以表示为若干镜面反射的乘积。

参考资料

1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.