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在线性泛函分析中,对偶空间(dual space)或称共轭空间是一个赋范线性空间上全体连续线性泛函组成的 Banach 空间。关于一个线性空间的代数对偶详见对偶模,关于拓扑线性空间上的连续线性泛函全体详见拓扑对偶

定义[]

假设有数上的赋范线性空间,其上的全体连续线性泛函的全体按照如下定义的加法和数乘

组成线性空间,定义

可以得到上的范数,且作为赋范线性空间还是完备的,进而是 Banach 空间。我们称这个空间为的对偶空间。算子范数在不引起混淆的情况下也记作

进一步可以定义第二对偶空间或第二共轭空间

例子[]

以下我们用等号表示空间之间的等距同构。

  1. 连续函数空间
  2. 空间,这里当而当
  3. 离散空间:,其中关系与取值同上。
  4. 一般完全可加的有限的测度空间,其中关系与取值同上。
  5. 收敛数列全体
  6. 收敛到零的数列全体

注意空间的对偶不是实际上的对偶空间比“大”,参见 Riesz-Markov 定理有界平均振动函数

第二对偶空间[]

假设赋范线性空间共轭空间的共轭空间,我们就称的第二共轭空间。可以证明存在一个单射(称为自然映射)

其中
如果上述自然映射还是满射,那么是等距同构的,这时我们就称是自反空间。自反空间一定是 Banach 空间,因为赋范线性空间的共轭空间一定是完备的。

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  1. 空间是自反空间,,当时不是自反空间。
  2. 有限维赋范线性空间(特别地,Euclid 空间)是自反空间。

等价刻画[]

一个 Banach 空间是自反的当且仅当其中的闭单位球满足如下性质其一:

  1. 角谷定理)弱紧。
  2. Eberlein-Schmulyan 定理)弱序列紧。

因此在 Banach 空间中,闭单位球的弱紧和弱序列紧等价,这是因为它们都等价于空间的自反性,但是由于弱拓扑一般而言不是第一可数的,因此这个等价性在其它的弱拓扑(例如*弱拓扑)中未必成立。

评注[]

  1. 在定义中我们要求的等距同构必须是,存在着这样的非自反空间,它到它的第二共轭空间存在一个等距同构,但是这个等距同构不是自然嵌入
  2. 自反空间的定义允许我们在一定程度上将视作差不多的空间,但是在一些细致问题上我们还是需要明确指出嵌入而非完全一样的空间。

子空间的对偶[]

我们有一个事实:蕴含,但是这一事实该如何理解?即是在什么意义下包含于的?我们知道中的元素的定义域都不一样,因此这种包含关系并不是一般意义下的,准确来说应当理解为:存在一个嵌入映射满足

如果子空间的嵌入是连续的,那么作为共轭算子也是连续的,如果我们不想引入共轭算子的概念,那么可以这样理解:应当被替换为
此处为了区分本身的连续线性泛函全体,我们加个下标。这个集合是中的连续线性泛函全体,显然自身的连续线性泛函可以延拓到这个集合上去,因此有一个嵌入映射(不是)。

显然我们有如果,那么在函数的加法和数乘下构成一个线性空间,于是我们可以写做,不过比较复杂的是怎样是一个赋范线性空间。

实际上我们可以定义

遗憾的是当时它只能是一个半范数。空间的关系是存在一个满线性映射使得它是连续的,取,那么上的半范数恰好决定的就是上的算子范数,换言之商空间

在这种意义下的闭子空间。

例子[]

下面我们来说明为什么要像这样理解子空间上的线性泛函,不妨以有限维为例,我们知道有一个自然嵌入,但是并不是的子空间,我们应当考虑的是这个的子空间,于是上的线性泛函是

例如上的线性泛函,但它不是上的线性泛函。

交子空间的对偶[]

假设,那么在同构的意义下我们有

任取,如果我们单单只把它想成是上的连续线性泛函,那么因为定义域本身就不一样,是没有办法说这两个空间的关系的,这时可以理解为
于是我们可以进一步分析:右面包含在左面是简单的,因为大空间上的连续线性泛函肯定是小空间上的连续线性泛函。我们考虑左面包含在右面,核心思想是用 Hahn-Banach 定理延拓,不过我们不能延拓到整个空间上去,否则对以及上的函数值就没办法做决定了(因为在这两个集合上可能不是线性的)。

  1. ,等式变为,结论是平凡的。
  2. 时对任意,令
  3. 时对任意,在上对Hahn-Banach 定理,存在使得,同理存在使得,于是令
    可以验证(需要使用一个闭包的性质:)。

上述分析都加了闭包的原因是:未必是闭的然而在子空间上定义的连续线性泛函完全决定了它在这个子空间的闭包上的函数值。

乘积空间的对偶[]

假设赋范线性空间是它们的乘积空间,那么在同构的意义下我们有

同构映射是,我们先给出乘积空间上的拓扑:令,定义
下面开始验证:

  1. 是线性映射,对任意,我们有对任意成立
  2. 是单射:实际上任取,那么对任意的得到,再取得到
  3. 是满射:实际上对任意,我们有
  4. 是等距的,为此我们先证:对任意(下面各种式子尤其是取确界时假设这个条件成立)我们有
    最后一个不等式是 Hölder 不等式
  5. 我们来证明反过来的不等号成立,任取存在满足
    我们注意到由齐次性对任意都满足上面的式子,于是我们可以选择合适的使得下面的式子成立
    伸缩后的向量仍记作。注意这个式子就是 Hölder 不等式的取等条件,我们在下面的式子的最后一步会用到。
    然后令即可。

评注[]

  1. 上面的过程中我们只需要验证是满的等距线性映射即可,单射可以不用验证的,不过因为其验证较简单我们写出了步骤。
  2. 给两个乘积空间赋予范数实际上相当于在上赋予范数,因此其上的范数均等价,这里我们选择了范数。
  3. 在上面的范数中,也可以取,这时,此时的证明可以不使用 Hölder 不等式,可见这里
  4. 上面的结果可以推广到有限个乘积空间上去,但是这个结论对无穷多个乘积空间可能不对,甚至我们对无限个空间作乘积时会对乘积空间引入各种不等价的范数。
  5. 关于 Banach 空间上的直和的相关性质的讨论参见这里

可分性和自反性[]

如果 Banach 空间可分,它的共轭空间未必可分,例如空间可分(可数稠密子集是),但是它的共轭空间是不可分的。不过我们有反过来的结果:

假设 Banach 空间的共轭空间可分,那么也可分。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

中的可数稠密子集,那么对每个我们可以选择使得于是中张成一个由有理系数有限线性组合的线性子空间,这个子空间是可数的,令记中张成一个由实/复系数(取决于的数域)有限线性组合的线性子空间,我们知道中稠密,如果我们还能证明中稠密,那么我们就找到了一个的可数稠密子集。下面就来证明的稠密性。

反证法,如果中不稠密,那么存在一个非零连续线性泛函使得上是零。但是我们知道中稠密,那么对任意存在一个使得

而我们知道根据的选取,有
这表明

的任意性可知上的零泛函,与非零线性泛函矛盾。

关于自反性,我们知道:自反空间的对偶空间也是自反的,反过来也对。结合自反性和可分性我们有:

Banach 空间自反可分当且仅当自反可分。

结合自反性,运用对偶来做可分空间的判定将成为充要的,这极大依赖于自反性的功效。上面两个事实的证明参见自反空间#性质

参考资料

  1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义(上册)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
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