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实正规矩阵正规矩阵实数域上的特例,它是一类自身与其转置可交换的实矩阵正交矩阵、实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵。

概念[]

设有一矩阵,若其满足,我们就把它称为实正规矩阵。

性质[]

实正规矩阵的对称情形:

  1. 特征值都是实数的实正规矩阵是且仅是实对称矩阵。
  2. 如果实正规矩阵满足:的所有特征向量互不相同,那么是实对称矩阵。

另外,正规矩阵的所有性质和等价刻画对实正规矩阵均有效,其中有一条为

是正规矩阵当且仅当存在酉矩阵使得为对角矩阵。

我们自然会想,是实正规矩阵时,能不能限制为(实)正交矩阵,答案是否定的,因为可能存在非实数的特征值,这时必然不会存在这样的正交矩阵。

正交标准型[]

虽然实正规矩阵不能对角化,但有如下较弱形式的对角化定理:

阶实正规矩阵,那么存在正交矩阵使得
其中,的特征值,当其为实数时就是,当其为一组非实数的共轭复数时,

作为上述定理的推论,我们有

这时关于同时将交换矩阵对角化的结论可以表述为

若两个实正规矩阵可交换,即满足,那么存在一实正交矩阵,使得同时有形式#A1

参考资料

  1. Roger A. Horn, Matrix Analysis(2nd Ed.), Cambridge University Press, 2012-10, ISBN 978-0-5215-4823-6.
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