实正规矩阵是正规矩阵在实数域上的特例,它是一类自身与其转置可交换的实矩阵,正交矩阵、实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵。
概念[]
设有一矩阵,若其满足,我们就把它称为实正规矩阵。
性质[]
实正规矩阵的对称情形:
- 特征值都是实数的实正规矩阵是且仅是实对称矩阵。
- 如果实正规矩阵满足:的所有特征向量互不相同,那么是实对称矩阵。
另外,正规矩阵的所有性质和等价刻画对实正规矩阵均有效,其中有一条为
- 是正规矩阵当且仅当存在酉矩阵使得为对角矩阵。
我们自然会想,是实正规矩阵时,能不能限制为(实)正交矩阵,答案是否定的,因为可能存在非实数的特征值,这时必然不会存在这样的正交矩阵。
正交标准型[]
虽然实正规矩阵不能对角化,但有如下较弱形式的对角化定理:
- 设是阶实正规矩阵,那么存在正交矩阵使得其中,是的特征值,当其为实数时就是,当其为一组非实数的共轭复数时,
作为上述定理的推论,我们有
这时关于同时将交换矩阵对角化的结论可以表述为
- 若两个实正规矩阵可交换,即满足,那么存在一实正交矩阵,使得和同时有形式#A1。
参考资料
- Roger A. Horn, Matrix Analysis(2nd Ed.), Cambridge University Press, 2012-10, ISBN
978-0-5215-4823-6
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