实数的大小比较

实数域还是有序域，因此任意两个实数可以进行大小比较，这是实数的又一基本性质。

从有理数说起

有理数扩充到实数后，可以使用类似有理数的大小比较原则比较实数的大小。注意，请不要使用这个原则比较 $1$ 与 $0.999\cdots$ 类似的数，它们是相等的。

对于两个非负实数 $a=a_0.a_1a_2a_3 \cdots a_n \cdots$、$b=b_0.b_1b_2b_3 \cdots b_n \cdots$（其中 $a_i, b_i$ 为个位数非负整数，$i=1,2,3, \cdots$，$a_0, b_0$ 是非负整数）

• 如果有$a_i=b_i, (i=1,2,3, \cdots)$，则称 $a$ 与 $b$ 相等，记作 $a = b$。
• 如果 $a_0>b_0$ 或 $a_i=b_i (i=1,2,3, \cdots, k), a_k>b_k$，则称 $a$ 大于 $b$，记作 $a > b$。
• 如果 $a_0<b_0$ 或 $a_i=b_i (i=1,2,3, \cdots, k), a_k<b_k$，则称 $a$ 小于 $b$，记作 $a < b$。

对于负实数，依照上面的规定比较 $-a$ 与 $-b$ 的大小，得 $-a=-b$，$-a>-b$，$-a<-b$，则分别有 $a = b$，$a < b$，$a > b$。

规定任意正实数大于 $0$ 大于任意负实数。

通过近似比较实数

设 $a=a_0.a_1a_2a_3 \cdots a_n \cdots$ 我们约定 $\check{a}^{(k)}$ 来表示实数 $a$ 的 $k$ 位不足近似， $\hat{a}^{(k)}$ 来表示实数 $a$ 的 $k$ 位过剩近似，则有

$\check{a}^{(k)} := a_0.a_1a_2a_3 \cdots a_k$
$\hat{a}^{(k)} := a_0.a_1a_2a_3 \cdots a_k + {0.1}^k$

如果有两个实数 $a, b$，如果

$\check{a}^{(k)} < \check{b}^{(k)}$ 或 $\hat{a}^{(k)} < \hat{b}^{(k)}$

则 $a < b$。

参考资料

1. 华东师范大学数学科学学院, 《数学分析（上）（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2019-05, ISBN 978-7-0405-0694-5.