实数是数学上的一类数,包括有理数和无理数。任何有理数均可以表示为两个整数的商的形式,且都可以用有限小数或无限循环小数表示。而无限不循环小数则称为无理数。实数理论就是围绕着实数的关系集性质而研究出的一系列基本事实。
扩充有理数域[]
我们知道有理数域(记为 )虽然稠密,但是并不完备(确界原理并不成立),单纯使用有理数并不能对函数等进行有效研究。因此,我们需要对有理数集进行扩充,构造出一个新的数集,使得确界原理得以成立。实际上现在我们已经知道这个更完备的数集是实数集。构造实数集有很多方法和理论,例如戴德金分划说、区间套说等。扩充后的实数域不仅和有理数域一样是阿基米德有序域,而且具有完备性。
为什么确界原理不成立的有理数域要被扩充为实数域?我们知道,微积分在各个领域应用广泛,而极限理论则为其提供了运算的理论依据,在这其中“收敛”的数列极限亦十分重要,它有许多有用的性质。如果我们将所有运算限制到有理数上,我们将不会得到某些数列的极限,尽管它们各项可能都是有理数,进而我们就很难甚至无法对它们进行进一步的运算,这样微积分理论就有很多漏洞,因此我们才需要扩充数域,并建立一个更完备的理论,由此严格的一步步推出实数理论以及极限论中的基本理论等。
无限小数公理[]
- 当 为正整数时,
- 当 为负整数时,
- 表示为 。
- 对于一个任意有限小数 ( 为个位数非负整数,, 不为 ),我们可以用如下两种方式将其表示成无限位数的小数。
这样,所有的实数都可以用无限小数来表示了。关于这种表示的合理性,以及强化条件后表示的唯一性我们会在小数表示公理中说明。
实数的公理化[]
实数最基本的性质是可以进行加、减、乘以及除运算。其中加法和乘法是基本运算。
- 实数对加法有结合律:
- 实数对加法有交换律:
- 加法运算有单位元 :
- 实数对加法有逆元(也即加法有逆运算减法):
- 实数对乘法有结合律:
- 实数对乘法有交换律:
- 乘法运算有单位元 :
- 非零实数对乘法有逆元(也即乘法有逆运算除法):
- 乘法对加法有分配律:
- 自反性:
- 反对称性:若且,那么
- 传递性:若,那么
- 全序性:任意两个实数之间可以比较大小,对任意,要么,要么;
- 序对加法相容:,那么
- 序对乘法相容:,那么
- 戴德金原理。
上述1-9说明了是一个数域,10-13说明了是一个偏序集,14说明了偏序集是一个全序集,10-15共同说明了是一个有序域,第16条揭示了实数域的完备性或连续性,我们称1-16都满足的集合为完备的有序域。
一个集合只要满足如上十六条(即完备的有序域),就可称为是实数域,这是实数域的公理化定义。
实际上我们可以看出,我们并不关心这个集合中的元素是什么,只要良定义了集合上的加法、乘法、全序关系,且满足如上十六条,我们就说它是实数域。
实数域的完备性还可用实数理论中的一组基本等价定理:Dedekind 定理、确界定理、区间套定理、单调有界定理、Cauchy 收敛准则、Bolzano-Weierstrass 定理(聚点定理、致密性定理)以及 Heine-Borel 定理(有限覆盖定理)来描述,其中,使用 Cauchy 收敛准则时必须再指明另一个附加条件(阿基米德性)才能和其它定理等价。
- Archimedes 性:对任意的,存在正整数,使得
实数域的同构[]
引入有序域的同构概念:
如果一个从有序域到的双射兼容加法、乘法和全序关系,即
- 如果,那么
我们可以证明,所有实数域都是互相同构的,因此任意一个都可作为这个数域的代表参与运算,这是实数域的唯一性。
有理数域的扩充[]
实数域是作为有理数域的完备性扩充得到的,不管如何扩充,满足完备性的实数域在同构意义下是唯一的,且不能再做扩充。
有理数域是实数域的一个子有序域,且有理数在实数域中是稠密的,即对任意以有理数为元素的数列,它的极限若存在,必为一实数。
以上我们用抽象的方法“造出了”实数域,但是我们并没有牵扯到具体的数字,有理数域我们是可以罗列出元素的,但实数域我们没有办法罗列具体元素,因此,我们严谨的说,上述定义的唯一性是在存在性得到保证后的,实际上,存在性牵扯到实数该如何构造,基本的有 Dedekind 分割以及 Cantor 基本列方法。
参考资料
- 华东师范大学数学科学学院, 《数学分析(上)(第五版)》, 高等教育出版社, 北京, 2019-05, ISBN
978-7-0405-0694-5
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