实数理论

实数是数学上的一类数，包括有理数和无理数。任何有理数均可以表示为两个整数的商的形式，且都可以用有限小数或无限循环小数表示。而无限不循环小数则称为无理数。实数理论就是围绕着实数的关系集性质而研究出的一系列基本事实。

扩充有理数域

我们知道有理数域（记为 $\mathbb{Q}$ ）虽然稠密，但是并不完备（确界原理并不成立），单纯使用有理数并不能对函数等进行有效研究。因此，我们需要对有理数集进行扩充，构造出一个新的数集，使得确界原理得以成立。实际上现在我们已经知道这个更完备的数集是实数集。构造实数集有很多方法和理论，例如戴德金分划说、区间套说等。扩充后的实数域不仅和有理数域一样是阿基米德有序域，而且具有完备性。

为什么确界原理不成立的有理数域要被扩充为实数域？我们知道，微积分在各个领域应用广泛，而极限理论则为其提供了运算的理论依据，在这其中“收敛”的数列极限亦十分重要，它有许多有用的性质。如果我们将所有运算限制到有理数上，我们将不会得到某些数列的极限，尽管它们各项可能都是有理数，进而我们就很难甚至无法对它们进行进一步的运算，这样微积分理论就有很多漏洞，因此我们才需要扩充数域，并建立一个更完备的理论，由此严格的一步步推出实数理论以及极限论中的基本理论等。

无限小数公理

• 当 $a$ 为正整数时，$a=a.000 \cdots = (a-1).999 \cdots$
• 当 $a$ 为负整数时，$a=a.000 \cdots = -(-a-1).999 \cdots$
• $0$ 表示为 $0.000 \cdots$。
• 对于一个任意有限小数 $a=a_0.a_1a_2a_3 \cdots a_n \cdots$($a_i$ 为个位数非负整数，$i=1,2,3, \cdots ,n$，$a_n$ 不为 $0$)，我们可以用如下两种方式将其表示成无限位数的小数。

1. $a=a_0.a_1a_2a_3 \cdots a_n 000 \cdots$
2. $a=a_0.a_1a_2a_3 \cdots (a_n -1)999 \cdots$

这样，所有的实数都可以用无限小数来表示了。关于这种表示的合理性，以及强化条件后表示的唯一性我们会在小数表示公理中说明。

实数的公理化

实数最基本的性质是可以进行加、减、乘以及除运算。其中加法和乘法是基本运算。

1. 实数对加法有结合律：$x + y + z = x + ( y + z ), \forall x,y,z \in \mathbb{R};$
2. 实数对加法有交换律：$x + y = y + x, \forall x,y \in \mathbb{R};$
3. 加法运算有单位元 $0$：$x + 0 = x, \forall x \in \mathbb{R};$
4. 实数对加法有逆元（也即加法有逆运算减法）：$x + ( - x ) = 0, \forall x \in \mathbb{R};$
5. 实数对乘法有结合律：$( x \cdot y ) \cdot z = x \cdot ( y \cdot z ), \forall x,y,z \in \mathbb{R};$
6. 实数对乘法有交换律：$x \cdot y = y \cdot x \forall x,y \in \mathbb{R};$
7. 乘法运算有单位元 $1$：$1 \cdot x = x, \forall x \in \mathbb{R};$
8. 非零实数对乘法有逆元（也即乘法有逆运算除法）：$x \cdot x^{-1} = 1, \forall x \in \mathbb{R} - \{ 0 \};$
9. 乘法对加法有分配律：$x \cdot ( y + z ) = x \cdot y + x \cdot z, \forall x,y,z \in \mathbb{R};$
10. 自反性：$x \leqslant x, \forall x \in \R;$
11. 反对称性：若$x \leqslant y$且$y \leqslant x$，那么$x = y;$
12. 传递性：若$x \leqslant y, y \leqslant z$，那么$x \leqslant z;$
13. 全序性：任意两个实数之间可以比较大小，对任意$x, y \in \R$，要么$x \leqslant y$，要么$y \leqslant x$；
14. 序对加法相容：$x + z \leqslant y + z$，那么$x \leqslant y;$
15. 序对乘法相容：$xz \leqslant yz, z > 0$，那么$x \leqslant y.$
16. 戴德金原理。

上述1-9说明了$\R$是一个数域，10-13说明了$(\R, \leqslant)$是一个偏序集，14说明了偏序集$(\R, \leqslant)$是一个全序集，10-15共同说明了$\R$是一个有序域，第16条揭示了实数域的完备性或连续性，我们称1-16都满足的集合为完备的有序域。

一个集合只要满足如上十六条（即完备的有序域），就可称为是实数域，这是实数域的公理化定义。

实际上我们可以看出，我们并不关心这个集合中的元素是什么，只要良定义了集合上的加法、乘法、全序关系，且满足如上十六条，我们就说它是实数域。

实数域的完备性还可用实数理论中的一组基本等价定理：Dedekind 定理、确界定理、区间套定理、单调有界定理、Cauchy 收敛准则、Bolzano-Weierstrass 定理（聚点定理、致密性定理）以及 Heine-Borel 定理（有限覆盖定理）来描述，其中，使用 Cauchy 收敛准则时必须再指明另一个附加条件（阿基米德性）才能和其它定理等价。

• Archimedes 性：对任意的$x, y > 0$，存在正整数$n$，使得$nx \geqslant y.$

实数域的同构

引入有序域的同构概念：
如果一个从有序域$(R_1; +_1, \cdot_1, \leqslant_1)$到$(R_2; +_2, \cdot_2, \leqslant_2)$的双射$\varphi$兼容加法、乘法和全序关系，即

1. $\forall x, y \in R_1, \varphi(x+_1y) = \varphi(x) +_2 \varphi(y);$
2. $\forall x, y \in R_1, \varphi(x\cdot_1y) = \varphi(x) \cdot_2 \varphi(y);$
3. $\forall x, y \in R_1$如果$x \leqslant_1 y$，那么$\varphi(x) \leqslant_2 \varphi(y).$

我们可以证明，所有实数域都是互相同构的，因此任意一个都可作为这个数域的代表参与运算，这是实数域的唯一性。

有理数域的扩充

实数域是作为有理数域的完备性扩充得到的，不管如何扩充，满足完备性的实数域在同构意义下是唯一的，且不能再做扩充。

有理数域是实数域的一个子有序域，且有理数在实数域中是稠密的，即对任意以有理数为元素的数列，它的极限若存在，必为一实数。

以上我们用抽象的方法“造出了”实数域，但是我们并没有牵扯到具体的数字，有理数域我们是可以罗列出元素的，但实数域我们没有办法罗列具体元素，因此，我们严谨的说，上述定义的唯一性是在存在性得到保证后的，实际上，存在性牵扯到实数该如何构造，基本的有 Dedekind 分割以及 Cantor 基本列方法。

参考资料

1. 华东师范大学数学科学学院, 《数学分析（上）（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2019-05, ISBN 978-7-0405-0694-5.