实内插空间

这个页面介绍内插理论中通过实内插方法（K-内插函子或 J-内插函子）得到的内插空间的性质，假设${\overline {A}}=(A_{0},A_{1})$是赋范线性空间范畴的相容范畴中的对象，$K_{\theta ,q},J_{\theta ,q}$（$\theta \in (0,1),q\in [1,+\infty ]$）分别是 K-内插函子和 J-内插函子，它们的内插空间分别是${\overline {A}}_{\theta ,q,K}$以及${\overline {A}}_{\theta ,q,J}$，根据内插函子等价定理，这两个空间相等，我们不妨记其为${\overline {A}}_{\theta ,q}$。

嵌入性质

假设如上，那么

1. $(A_{0},A_{1})_{\theta ,q}=(A_{1},A_{0})_{1-\theta ,q}.$
2. 如果$q\leqslant r\leqslant +\infty$，那么${\overline {A}}_{\theta ,q}\subset {\overline {A}}_{\theta ,r}.$
3. 如果$\theta _{0}<\theta <\theta _{1}$，那么${\overline {A}}_{\theta _{0},q}\cap {\overline {A}}_{\theta _{1},q}\subset {\overline {A}}_{\theta ,q}.$
4. 如果$\theta _{0}<\theta _{1}$，那么$A_{1}\subset A_{0}\Rightarrow {\overline {A}}_{\theta _{1},q}\subset {\overline {A}}_{\theta _{0},q}.$
5. 如果$A_{1}=A_{0}$，那么${\overline {A}}_{\theta ,q}=A_{0}.$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

1. 注意$$\varTheta _{\theta ,q}(K(t,a;(A_{0},A_{1})))=\varTheta _{\theta ,q}(tK(1/t,a;(A_{1},A_{0})))=\varTheta _{1-\theta ,q}(K(t,a;(A_{0},A_{1}))).$$$\varTheta$的定义参见 K-内插函子。
2. 如果$r=+\infty$，用这个定理。如果$r<+\infty$，那么$$\|a\|_{\theta ,r}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{+}}(t^{-\theta }K(t,a))^{q}(t^{-\theta }K(t,a))^{r-q}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{r}}\leqslant C\|a\|_{\theta ,q}^{q/r}\|a\|_{\theta ,q}^{1-q/r}.$$
3. 将积分分为两部分$$\|a\|_{\theta ,q}\leqslant \left(\int _{0}^{1}(t^{-\theta }K(t,a))^{q}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}+\left(\int _{1}^{\infty }(t^{-\theta }K(t,a))^{q}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}.$$由于$\theta _{1}>\theta ,\theta _{0}<\theta$，上式第一项小于等于$\|a\|_{\theta _{1},q}$，第二项小于等于$\|a\|_{\theta _{0},q}$，于是我们就得到结论。
4. 由于$A_{1}\subset A_{0}$，不妨假设$\|a_{1}\|_{A_{0}}\leqslant k\|a_{1}\|_{A_{1}}$对任意的$a_{1}\in A_{1}$成立，那么对任意的$a=a_{0}+a_{1}\in A_{0}+A_{1}\subset A_{0}$，如果$t>k$，那么
   1. 一方面$a$有分解$a=a+0\in A_{0}+A_{1}$，这就表明$$K(t,a)\leqslant \|a\|_{A_{0}}.$$
   2. 另一方面$$\|a\|_{A_{0}}\leqslant \|a_{0}\|_{A_{0}}+\|a_{1}\|_{A_{0}}\leqslant \|a_{0}\|_{A_{0}}+(t/k)\|a_{1}\|_{A_{0}}\leqslant \|a_{0}\|_{A_{0}}+t\|a_{1}\|_{A_{1}}$$即$$\|a\|_{A_{0}}\leqslant K(t,a)$$

   我们有$${\begin{aligned}\|a\|_{\theta _{0},q}&=\left(\int _{0}^{\infty }(t^{-\theta _{0}}K(t,a))^{q}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}\\&\leqslant \left(\int _{0}^{k}(t^{-\theta _{0}}K(t,a))^{q}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}+C\|a\|_{A_{0}}\\&\leqslant \left(\int _{0}^{k}(t^{-\theta _{1}}K(t,a))^{q}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}+C\|a\|_{A_{0}}\\&\leqslant \|a\|_{\theta _{1},q}+C\|a\|_{A_{0}}\\\end{aligned}}$$

5. 仅需注意到有连续嵌入$$A_{0}=\varDelta (A_{0},A_{0})\subset {\overline {A}}_{\theta ,q}\subset \varSigma (A_{0},A_{0})=A_{0}$$

在拟范数交换群范畴上，上述性质依旧成立，且我们可以放宽条件到$q > 0$，证明过程也完全一样。

拓扑性质

假设如引言，那么

1. 如果$A_{0},A_{1}$完备，那么${\overline {A}}_{\theta ,q}$完备。
2. 如果$q<+\infty$，那么$\varDelta ({\overline {A}})$在${\overline {A}}_{\theta ,q}$中稠密。
3. 如果$q=+\infty$，那么$\varDelta ({\overline {A}})$在${\overline {A}}_{\theta ,q}$中的闭包是$${\overline {A}}_{\theta ,q}^{0}=\{a\in {\overline {A}}_{\theta ,q}:t^{-\theta }K(t,a)\to 0,{\text{as }}t\to 0^{+}{\text{ and }}+\infty \}.$$

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1. 为了应用这个定理，任取${\overline {A}}_{\theta ,q}$中的绝对可和序列$\{a_{k}\}_{k\geqslant 1}$，即满足$\sum _{k=1}^{\infty }\|a_{k}\|_{{\overline {A}}_{\theta ,q}}<+\infty$，由于${\overline {A}}_{\theta ,q}$可以连续嵌入到$\varSigma ({\overline {A}})$中，这就表明这个序列在$\varSigma ({\overline {A}})$中绝对可和，由$\varSigma ({\overline {A}})$的完备性就得到这个序列在$\varSigma ({\overline {A}})$中收敛到一个元素$a$，下面我们证明$a\in {\overline {A}}_{\theta ,q}$。直接计算$${\begin{aligned}\left\|a-\sum _{k=1}^{N}a_{k}\right\|_{{\overline {A}}_{\theta ,q}}&=\varTheta _{\theta ,q}\!\left(K\!\left(t,\sum _{k=N+1}^{\infty }a_{k}\right)\right)\\&\leqslant \varTheta _{\theta ,q}\!\left(\sum _{k=N+1}^{\infty }K\!\left(t,a_{k}\right)\right)\\&\leqslant \sum _{k=N+1}^{\infty }\varTheta _{\theta ,q}\!\left(K\!\left(t,a_{k}\right)\right)\\&=\sum _{k=N+1}^{\infty }\|a_{k}\|_{{\overline {A}}_{\theta ,q}}\\&\to 0\quad (N\to \infty )\end{aligned}}$$
2. 由这个定理得到对任意的$a\in {\overline {A}}_{\theta ,q}$而言存在$\{u_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }\subset \varDelta ({\overline {A}})$使其在$\varSigma ({\overline {A}})$中可和，且和为$a$，且$$\{J(2^{k},u_{k})\}_{k\in \mathbb {Z} }\in \lambda ^{\theta ,q}.$$这样$$\left\|a-\sum _{k=N}^{M}u_{k}\right\|_{\theta ,q}\leqslant \left(\sum _{k\notin [N,M]}(2^{-k\theta }J(2^{k},u_{k}))^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\to 0,\quad (N\to -\infty ,M\to +\infty )$$注意，上述证明过程不适用于$q = \infty$的情况，因为有界数列的无穷大项之外未必衰减到零。
3. 分两部分来证明：
   1. 如果$a\in {\overline {A}}_{\theta ,\infty }^{0}$，那么根据内插论基本引理，对任意的$\varepsilon > 0$存在$\{u_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }\subset \varSigma ({\overline {A}})$使得这个序列可和且和为$a$，并且满足$$J(2^{k},u_{k})\leqslant (3+\varepsilon )K(2^{k},a).$$于是$$\left\|a-\sum _{k=N}^{M}u_{k}\right\|_{\theta ,\infty }\leqslant (3+\varepsilon )\sup _{k\notin [N,M]}{\big (}2^{-k\theta }K(2^{k},a){\big )}\to 0,\quad (N\to -\infty ,M\to +\infty )$$这就表明了$\varDelta ({\overline {A}})$的稠密性。
   2. 下面我们只需要证明${\overline {A}}_{\theta ,\infty }^{0}$是$\varDelta ({\overline {A}})$在${\overline {A}}_{\theta ,\infty }$中的最小闭包即可，任取$a$位于这个闭包中，我们就是要证明$a\in {\overline {A}}_{\theta ,\infty }^{0}$，实际上，对任意的$\varepsilon > 0$存在$b\in \varDelta ({\overline {A}})$使得$$\|a-b\|_{\theta ,\infty }<\varepsilon .$$通过计算以及这个定理可以知道$$t^{-\theta }K(t,a)\leqslant t^{-\theta }(K(t,a)+K(t,a-b))\leqslant t^{-\theta }\min\{1,t\}J(1,b)+C\varepsilon .$$

在拟范数交换群范畴上，上述性质依旧成立，且我们可以放宽条件到$q > 0$，不过涉及到完备性的证明过程需要稍加修改，需要借助 K-内插函子#拟范数线性空间和 J-内插函子#拟范数线性空间中的不等式。

内插空间类

假设${\overline {A}}=(A_{0},A_{1})$是相容赋范线性空间范畴中的对象，假设$X$是关于$\overline{A}$的中等空间，

1. 如果对任意的$a \in X$成立$K(t,a;{\overline {A}})\leqslant Ct^{\theta }\|a\|_{X}$，我们就称$X\in {\mathcal {C}}_{K}(\theta ,{\overline {A}}).$
2. 如果对任意的$a\in \varDelta ({\overline {A}})$成立$J(t,a;{\overline {A}})\geqslant Ct^{\theta }\|a\|_{X}$，我们就称$X\in {\mathcal {C}}_{J}(\theta ,{\overline {A}}).$
3. 如果$X\in {\mathcal {C}}_{K}(\theta ,{\overline {A}})\cap {\mathcal {C}}_{J}(\theta ,{\overline {A}})$，我们就记$X\in {\mathcal {C}}(\theta ,{\overline {A}}).$

很多时候使用函数$K(t,a),J(t,a)$并不方便，我们对上述定义有如下的等价形式。

假设${\overline {A}}=(A_{0},A_{1})$是相容赋范线性空间范畴中的对象，假设$X$是关于$\overline{A}$的中等空间，

1. $X\in {\mathcal {C}}_{K}(\theta ,{\overline {A}})$当且仅当对任意的$t>0,a\in X$存在$a_{0}\in A_{0},a_{1}\in A_{1}$使得$a=a_{0}+a_{1}$且$$\|a_{0}\|_{A_{0}}\leqslant Ct^{\theta }\|a\|_{X},\|a_{1}\|_{A_{1}}\leqslant Ct^{\theta -1}\|a\|_{X}.$$
2. $X\in {\mathcal {C}}_{J}(\theta ,{\overline {A}})$当且仅当$\|a\|_{X}\leqslant C\|a\|_{A_{0}}^{1-\theta }\|a\|_{A_{1}}^{\theta }.$

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1. 一方面，假设后者成立，那么对任意的$a \in X$以及$a=a_{0}+a_{1}$，于是$\|a_{0}\|_{A_{0}}+t\|a_{1}\|_{A_{1}}\leqslant Ct^{\theta }\|a\|_{X}$，对任意的$a$的和空间分解取下确界就得到前者。反过来，用反证法，假设对任意的正整数$n$存在$t_{n}>0,a_{n}\in X$，对任意$a_n$的和空间分解$a_{n}=a_{0,n}+a_{1,n}$，要么$\|a_{0,n}\|_{A_{0}}>nt_{n}^{\theta }\|a_{n}\|_{X}$，要么$t\|a_{1,n}\|_{A_{1}}>nt_{n}^{\theta }\|a_{n}\|_{X}$，不妨假设前者对无数个$n$都成立（后者的讨论类似），再不妨假设对所有的$n$前者都成立。于是$K(t_{n},a)\geqslant nt_{n}^{\theta }\|a_{n}\|_{X}.$与前者矛盾。
2. 一方面，如果前者成立，不妨假设$a\ne0$，那么$\|a\|_{X}\leqslant C^{-1}t^{-\theta }\max\{\|a\|_{A_{0}},t\|a\|_{A_{1}}\}$，令$t=\|a\|_{A_{0}}/\|a\|_{A_{1}}$就得到后者，那里的常数是$C^{-1}$。另一方面，如果后者成立，$$\|a\|_{X}\leqslant Ct^{-\theta }\|a\|_{A_{0}}^{1-\theta }(t\|a\|_{A_{1}})^{\theta }\leqslant Ct^{-\theta }J(t,a).$$

根据这个定理以及这个定理我们知道当$\theta \in (0,1),q\in [1,+\infty ]$的时候，实内插空间${\overline {A}}_{\theta ,q}$是类${\mathcal {C}}(\theta ,{\overline {A}})$的，而端点空间$A_0$和$A_1$分别是类${\mathcal {C}}(0,{\overline {A}})$和${\mathcal {C}}(1,{\overline {A}})$的。我们有如下仅应用空间的连续嵌入来判断是否是类${\mathcal {C}}(\theta ,{\overline {A}})$的命题。

假设${\overline {A}}=(A_{0},A_{1})$是相容赋范线性空间范畴中的对象，

1. $X\in {\mathcal {C}}_{K}(\theta ,{\overline {A}})$当且仅当存在连续嵌入$\varDelta ({\overline {A}})\subset X\subset {\overline {A}}_{\theta ,\infty }.$
2. Banach 空间$X\in {\mathcal {C}}_{J}(\theta ,{\overline {A}})$当且仅当存在连续嵌入${\overline {A}}_{\theta ,1}\subset X\subset \varSigma ({\overline {A}}).$

注意上述两个条件均已隐含了$X$是中等空间。

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1. 后者按照${\overline {A}}_{\theta ,\infty }$的定义等价于$$\sup _{t>0}t^{-\theta }K(t,a)\leqslant C\|a\|_{X}.$$
2. 根据这个定理，对任意$a\in \varSigma ({\overline {A}})$存在$\{u_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$使得$a=\sum _{k\in \mathbb {Z} }u_{k}$，如果前者成立且要求$X$完备，那么可和等价于绝对可和，即$$\|a\|_{X}\leqslant \sum _{k\in \mathbb {Z} }\|u_{k}\|_{X}\leqslant C\sum _{k\in \mathbb {Z} }2^{-k\theta }J(2^{k},u_{k};{\overline {A}}).$$于是${\overline {A}}_{\theta ,1}\subset X$。反过来，取$u_{k}=a,k=n,u_{k}=0,k\neq n.$这就得到$$\|a\|_{X}\leqslant C\|a\|_{{\overline {A}}_{\theta ,1}}\leqslant C2^{-n\theta }J(2^{n},a;{\overline {A}}).$$这就得到前者。

上述#命题3.2可以推广到拟范数交换群上去：

假设${\overline {A}}=(A_{0},A_{1})$是相容拟范数交换群范畴中的对象，

1. $X\in {\mathcal {C}}_{K}(\theta ,{\overline {A}})$当且仅当存在连续嵌入$\varDelta ({\overline {A}})\subset X\subset {\overline {A}}_{\theta ,\infty }.$
2. Banach 空间$X\in {\mathcal {C}}_{J}(\theta ,{\overline {A}})$当且仅当存在$q\leqslant 1$，有连续嵌入${\overline {A}}_{\theta ,q}\subset X\subset \varSigma ({\overline {A}}).$如果$X$中拟三角不等式的指标是$c$，那么$q$满足$(2c)^{q}=2.$

注意上述两个条件均已隐含了$X$是中等空间。

收缩对象

在研究某些内插空间（例如 Besov 空间）的时候，为了研究其与更简单的空间之间的关系，我们会引入收缩（retract）的概念，它是范畴论上的一种对象，我们只在赋范线性空间范畴/拟范数交换群范畴上讨论，假设$A, B$是范畴${\textsf {C}}$中的对象，如果存在态射$\iota: B \to A$以及$\pi :A\to B$满足：$\pi \circ \iota ={\text{Id}}_{B}.$那么我们就称$B$是$A$的一个收缩。

根据上述实内插空间的性质我们有

如果${\overline {A}},{\overline {B}}$是相容赋范线性空间范畴中的对象，且$\overline{B}$是$\overline{A}$的一个收缩，那么${\overline {B}}_{\theta ,q}$也是${\overline {A}}_{\theta ,q}$的一个收缩。

参考资料

• Bergh, Jöran and Löfström, Jörgen, Interpolation spaces: an introduction, Vol.223, Springer Science & Business Media, 2012