定積分的計算

這一個頁面用來介紹有關定積分的計算，包括著名的微積分基本定理，以及不定積分推廣過來的積分計算方法，還有定積分計算的獨特性質。

微積分基本定理

微積分基本定理也叫牛頓-萊布尼茲定理，由於其在積分計算中的地位巨大，將定積分和原函數問題（不定積分）聯繫起來，且只用兩個值就能計算出一段區間的定積分，古城做微積分學中的基本定理。它是說，連續於區間$[a, b]$上的$f(x)$，設$F(x)$是它的任意一個原函數，即有$F'(x) = f(x)$，則 $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(x)\Bigg|_a^b = F(b) - F(a)$$

不定積分方法的推廣

對不定積分奏效的換元積分和分部積分，通過證明可以引入到定積分的計算中去。

換元積分法

定積分同樣適用湊微分法以及第二換元法，僅需注意換元時注意換掉積分限即可。以下寫出第二換元的公式：

設$f(x), x = \varphi(t), \varphi'(t)$均連續，$x = \varphi(t)$具有嚴格單調性（保證了存在反函數），且$\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b$ 則有 $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi'(t) \mathrm{d}t.$$

不定積分中的換元方法，例如根式代換、倒代換和三角代換等，可以直接運用到定積分的計算中。

分部積分法

不定積分中的分部積分，只需增加上下限即可引入到定積分計算中來： $$\int_a^b v(x) \mathrm{d}u(x) = u(x) v(x) \Bigg|_a^b - \int_a^b u(x) \mathrm{d}v(x)$$ 運用分部積分可以直接計算出的一個很重要的積分是 $$I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \mathrm{d}x = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n x \mathrm{d}x$$ 當$n$是奇數時，$I_n = \dfrac{(n-1)!!}{n!!}$；當$n$是偶數時，$I_n = \dfrac{(n-1)!!}{n!!} \dfrac{\pi}{2}$

從這個積分中我們可以導出 Wallis 公式： $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2n+1}\left(\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2 = \dfrac{\pi}{2}$$

定積分的獨特計算方法

有的形式的定積分，用某些計算技巧可以很容易地計算出結果，例如利用對稱性、周期性等。

特殊函數的性質

對稱性

如果連續於區間$[-a, a]$上的函數$f(x)$是偶函數，那麼 $$\int_{-a}^a f(x) \mathrm{d}x = 2 \int_0^a f(x) \mathrm{d}x$$ 如果它是奇函數，那麼 $$\int_{-a}^a f(x) \mathrm{d}x = 0$$ 尤其是奇函數的情形，它能幫助我們簡化計算某些甚至是初等方法計算不出來的定積分。這些性質幾何意義也很直觀。

作為函數線對稱以及中心對稱的推廣，有如下更一般的規律：

在區間$[a, b]$上的可積函數$f(x)$，對任意的$x \in [a, b]$，如果有$f(x) = f(a+b-x)$，那麼 $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = 2 \int_\frac{a+b}{2}^b f(x) \mathrm{d}x$$ 如果有$f(x) = - f(a+b-x)$，那麼 $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = 0.$$

周期性

像對稱性一樣，周期性有時也可以幫助我們簡化定積分的計算，或者證明一些命題。它是說

若函數$f(x)$是周期為$T$的周期連續函數則有 $$\int_a^{a+T} f(x) \mathrm{d}x = \int_0^T f(x) \mathrm{d}x$$ 這也就是說，在一個周期上的積分值不管如何平移積分區間，它都是不變的。

三角分離

若函數$f(x)$在閉區間$[0,1]$上連續，則有 $$\int_0^\frac{\pi}{2} f(\sin x) \mathrm{d}x = \int_0^\frac{\pi}{2} f(\cos x) \mathrm{d}x$$ 進一步得出 $$\int_0^\pi x f(\sin x) \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \mathrm{d}x$$

它可以在不求原函數的情況下將難以計算的積分項消去，這個性質的最直接應用是計算定積分$\int_0^\pi \dfrac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \mathrm{d}x$

用積分求極限

定積分的定義是黎曼和的極限，有時候也會用它來求一些極限，這一方法的典型例子是用等份分割區間$[0,1]$來求極限。

例如求極限$\lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{2n} \right)$

解法：原式$= \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1+\frac{k}{n}}$

做輔助函數$f(x) = \dfrac{1}{1+x}$，對區間$[0,1]$等份分割為$n$份，則有 $\begin{align} \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1+\frac{k}{n}} & = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} f\left(\dfrac{k}{n}\right) \\ & = \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = \ln(1+x)\Bigg|_0^1 = \ln 2. \end{align}$

上下節

• 上一節：積分第一中值定理
• 下一節：定積分的應用

參考資料

1. 歐陽光中, 朱學炎, 金福臨, 陳傳璋, 《數學分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.