这一个页面用来介绍有关定积分的计算,包括著名的微积分基本定理,以及不定积分推广过来的积分计算方法,还有定积分计算的独特性质。
微积分基本定理[]
微积分基本定理也叫牛顿-莱布尼兹定理,由于其在积分计算中的地位巨大,将定积分和原函数问题(不定积分)联系起来,且只用两个值就能计算出一段区间的定积分,古城做微积分学中的基本定理。它是说,连续于区间
上的
,设
是它的任意一个原函数,即有
,则

不定积分方法的推广[]
对不定积分奏效的换元积分和分部积分,通过证明可以引入到定积分的计算中去。
换元积分法[]
定积分同样适用凑微分法以及第二换元法,仅需注意换元时注意换掉积分限即可。以下写出第二换元的公式:
设
均连续,
具有严格单调性(保证了存在反函数),且
则有

不定积分中的换元方法,例如根式代换、倒代换和三角代换等,可以直接运用到定积分的计算中。
分部积分法[]
不定积分中的分部积分,只需增加上下限即可引入到定积分计算中来:

运用分部积分可以直接计算出的一个很重要的积分是

当

是奇数时,

;当

是偶数时,
从这个积分中我们可以导出 Wallis 公式:

定积分的独特计算方法[]
有的形式的定积分,用某些计算技巧可以很容易地计算出结果,例如利用对称性、周期性等。
特殊函数的性质[]
对称性[]
如果连续于区间
上的函数
是偶函数,那么

如果它是奇函数,那么

尤其是奇函数的情形,它能帮助我们简化计算某些甚至是初等方法计算不出来的定积分。这些性质几何意义也很直观。
作为函数线对称以及中心对称的推广,有如下更一般的规律:
在区间
上的可积函数
,对任意的
,如果有
,那么

如果有

,那么

周期性[]
像对称性一样,周期性有时也可以帮助我们简化定积分的计算,或者证明一些命题。它是说
若函数
是周期为
的周期连续函数则有

这也就是说,在一个周期上的积分值不管如何平移积分区间,它都是不变的。
三角分离[]
若函数
在闭区间
上连续,则有

进一步得出

它可以在不求原函数的情况下将难以计算的积分项消去,这个性质的最直接应用是计算定积分
用积分求极限[]
定积分的定义是黎曼和的极限,有时候也会用它来求一些极限,这一方法的典型例子是用等份分割区间
来求极限。
例如求极限
解法:原式
做辅助函数
,对区间
等份分割为
份,则有
上下节[]
参考资料