定积分的应用

积分学在实际中应用广泛，尤其是在物理学背景下求解定积分问题。常见的定积分应用场景包括求图形面积、曲线弧长、体积问题等。这个页面列出一些一元定积分的主要应用。

平面图形的面积

直角坐标

曲线$f(x)$与$x = a, x = b$以及$x$轴所围成的图形的定向面积（定向面积是说$x$上侧为正值，下侧为负值） $$A = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$$ 而这一区域图形的代数面积（曲线围成的部分均为正值）是 $$A' = \int_a^b |f(x)| \mathrm{d}x$$ 在直角坐标系中，我们总区分这两种面积。

进一步地，曲线$f(x), g(x)$与$x = a, x = b$所围成的图形的代数面积为 $$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \mathrm{d}x$$ 而对于参数方程形式，直接用定积分的换元法代换上式中的$x, y$即可。

极坐标

设函数$\varphi(\theta)$连续于区间$[\alpha,\beta]$，且$\varphi(\theta)$在该区间上恒正，则由曲线$r = \varphi(\theta)$与射线$\theta = \alpha, \theta = \beta$围成的曲边扇形的面积 $$A = \dfrac{1}{2} \int_\alpha^\beta \varphi^2 (\theta) \mathrm{d}\theta$$ 需要注意这里的$\varphi(\theta)$要求恒正，若不满足，需用积分的可加性来差分求解。在极坐标中，常常也会用到对称性，这样可以简化某些积分的计算。

平面曲线的弧长

曲线弧长的定义：在给定的一段弧$s$上任意作内接折线列$\{ M_{i-1} M_i \}_{i=1}^n$，当折线段的最大边长$\lambda \to 0$时，如果折线的长度$s$趋向于一个确定的极限 $$s = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n |M_{i-1} M_i|$$ 则称此曲线弧为可求长的，并把这个极限值称为该段曲线弧的弧长。

可以证明，光滑曲线总是可以求弧长的。以下给出求法：

直角坐标

设曲线弧由函数$f(x), x \in [a, b]$给出，由直角三角形勾股定理的斜边逼近可得直角坐标中弧微分是 $$\mathrm{d}s = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2}$$ 进一步就可求出弧长 $$s = \int_a^b \sqrt{1 + f'^2(x)} \mathrm{d}x$$

参数方程

如果曲线弧由参数方程 $\begin{array}{cc} \begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases} & t \in [a, b] \\ \end{array}$ 给出，那么它的弧长 $$s = \int_a^b \sqrt{\varphi'^2(t) + \psi'^2(t)} \mathrm{d}t$$

极坐标

函数曲线$r = \varphi(\theta)$在区间$[\alpha,\beta]$上的弧长为 $$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\theta) + r'^2(\theta)} \mathrm{d}\theta$$

已知平行截面面积函数的立体体积

设所给立体图形垂直于$x$轴的截面面积函数为$A(x) \in C[a, b]$，则对应于区间$[x, x + \mathrm{d}x]$的体元 $$\mathrm{d}V = A(x) \mathrm{d}x$$ 于是两边同时积分，就得到了计算公式 $$V = \int_a^b A(x) \mathrm{d}x$$

旋转体

一般的三维图形求表面积和体积涉及到多个独立变量（即微元$\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z$），需要用到重积分等知识，但旋转体比较特殊，在计算相关表面积和体积时只需选定旋转轴上的微元即可化为一元积分问题，这是一元定积分所能解决的。以下非特别说明，转轴总是取$x$轴。

侧面积

设平面光滑曲线$y = f(x) \in C^1 [a, b]$，且$f(x) \geqslant 0$，它绕$x$轴旋转一周所得的旋转曲面的侧面积 $$A = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'^2 (x)} \mathrm{d}x$$

体积

设平面光滑曲线$y = f(x) \in C^1 [a, b]$，且$f(x) \geqslant 0$，它绕$x$轴旋转一周所得的旋转体的体积 $$V = \pi \int_a^b f^2(x) \mathrm{d}x$$

上下节

• 上一节：定积分的计算
• 下一节：积分第二中值定理

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.