定积分(definite integral)是数学分析中的重要概念,它有很多种形式,如Riemann 积分、Darboux 积分、Lebesgue 积分等。这里介绍最简单的 Riemann 积分(黎曼积分)。各种类型定义的定积分只是在某些特殊函数上情况不同,而对于一般的函数,这些定积分几乎等价。
定积分都有一个直观的几何意义:对于一个给定的正实值函数
,在一个实数区间
上的定积分
可以在数值上理解为在坐标平面上,由曲线
,直线
,以及
轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。
Riemann 积分的定义[]
设定义在
上的函数
,把区间
分成
个子区间,设分点为
,记第
个小区间的长度为
,定义分割的模长
,设每个子区间内有一个点
,则称和式
为函数
在区间
上的一个黎曼和(Riemann Sum),当
时,这样的极限我们就称它是函数
在区间
上的定积分,也称黎曼积分。它就是

这个极限值如果存在,我们就说函数

在区间

上可积,积分值既不依赖于

的取值,也不依赖于
![{\displaystyle [a,b]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/f6257fd8e02b31abfa0fbeed7ab806e5d09a72d6)
的分法,所以是唯一的,这也就是说定积分值是唯一的。
可积性[]
Darboux 定理[]
为了研究函数是否可积,我们引入 Darboux 和的概念,设
在第
个区间的最值为
![{\displaystyle M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x),\quad m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/a5b3e54bb0cf1f44c0fff9feaa581303e49e57eb)
并引入记号

我们称

与

为

在区间
![{\displaystyle [a,b]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/f6257fd8e02b31abfa0fbeed7ab806e5d09a72d6)
上的 Darboux 上和与 Darboux 下和。
它们显然有如下的性质:
- 在原有的分割中添加新的分点,上和与下和保持单调性,即上和不增、下和不减;
- 不论分法如何,总有
。
可以证明:对于闭区间上的有界函数,它的上和与下和的极限均存在,这就是 Darboux 定理。
第一充要条件[]
在区间
上的有界函数可积的充要条件是上和与下和的极限相等,也就是说
。用极限的语言来描述就是:
当
时,有
记
,我们称
为第
个区间上的振幅,那么上述条件又等价于

第二充要条件[]
在区间
上的有界函数可积的充要条件是对于任意的正数
,存在
,使得当对闭区间的任意分法都满足
时,对应于幅度
的那些部分区间的长度不超过
。
常见的可积函数[]
- 闭区间
上的连续函数一定在该区间上可积。
- 单调有界函数是可积函数。
- 不连续点组成的集合是零测集的函数也是可积函数。
定积分的性质[]
- 积分限交换:

- 积分区间的可加性:
,函数
在闭区间
上可积。
- 可积函数的线性组合还是可积的:
。
- 可积函数的绝对值是可积的,且
。
- 定积分具有正定性:若
可积,那么
也可积,且
,取等号当且仅当
几乎处处为零(函数值不为零的点组成的集合是一个零测集)。
上下节[]
参考资料