定积分

定积分（definite integral）是数学分析中的重要概念，它有很多种形式，如Riemann 积分、Darboux 积分、Lebesgue 积分等。这里介绍最简单的 Riemann 积分（黎曼积分）。各种类型定义的定积分只是在某些特殊函数上情况不同，而对于一般的函数，这些定积分几乎等价。

定积分都有一个直观的几何意义：对于一个给定的正实值函数$f(x)$，在一个实数区间$[a, b]$上的定积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 可以在数值上理解为在坐标平面上，由曲线$y=f(x)$，直线$x = a, x = b$，以及$x$轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

Riemann 积分的定义

设定义在$[a, b]$上的函数$f(x)$，把区间$[a, b]$分成$n$个子区间，设分点为$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_i < \cdots < x_n = b$，记第$i$个小区间的长度为$\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$，定义分割的模长$||\Delta|| = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} \Delta x_i$，设每个子区间内有一个点$\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$，则称和式 $S = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$ 为函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的一个黎曼和（Riemann Sum），当$||\Delta|| \to 0$时，这样的极限我们就称它是函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的定积分，也称黎曼积分。它就是

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \lim_{||\Delta|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$$

这个极限值如果存在，我们就说函数$f(x)$在区间${a, b}$上可积，积分值既不依赖于$\xi_i$的取值，也不依赖于$[a, b]$的分法，所以是唯一的，这也就是说定积分值是唯一的。

可积性

Darboux 定理

为了研究函数是否可积，我们引入 Darboux 和的概念，设$f(x)$在第$i$个区间的最值为

$$M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x), \quad m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$$

并引入记号

$$\bar{S} = \lim_{||\Delta|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(M_i) \Delta x_i, \quad \underline{S} = \lim_{||\Delta|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(m_i) \Delta x_i$$

我们称$\bar{S}$与$\underline{S}$为$f(x)$在区间$[a, b]$上的 Darboux 上和与 Darboux 下和。 它们显然有如下的性质：

1. 在原有的分割中添加新的分点，上和与下和保持单调性，即上和不增、下和不减；
2. 不论分法如何，总有$\bar{S} \geqslant \underline{S}$。

可以证明：对于闭区间上的有界函数，它的上和与下和的极限均存在，这就是 Darboux 定理。

第一充要条件

在区间$[a, b]$上的有界函数可积的充要条件是上和与下和的极限相等，也就是说$\lim_{||\Delta|| \to 0} (\bar{S} - \underline{S}) = 0$。用极限的语言来描述就是：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0,$当$||\Delta|| < \delta$时，有$\bar{S} - \underline{S} < \varepsilon.$

记$\omega_i = M_i - m_i$，我们称$\omega_i$为第$i$个区间上的振幅，那么上述条件又等价于

$$\lim_{||\Delta|| \to 0} f(\omega_i) \Delta x_i = 0.$$

第二充要条件

在区间$[a, b]$上的有界函数可积的充要条件是对于任意的正数$\varepsilon, \sigma$，存在$\delta > 0$，使得当对闭区间的任意分法都满足$||\Delta|| < \delta$时，对应于幅度$\omega_i \geqslant \varepsilon$的那些部分区间的长度不超过$\sigma$。

常见的可积函数

1. 闭区间$I$上的连续函数一定在该区间上可积。
2. 单调有界函数是可积函数。
3. 不连续点组成的集合是零测集的函数也是可积函数。

定积分的性质

1. 积分限交换：$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = - \int_b^a f(x) \mathrm{d}x$
2. 积分区间的可加性：$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x, \forall a, b, c \in S$，函数$f(x)$在闭区间$S$上可积。
3. 可积函数的线性组合还是可积的：$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \int_a^b \big( \alpha f(x)+\beta g(x) \big) \mathrm{d}x = \alpha \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + \beta \int_a^b g(x) \mathrm{d}x$。
4. 可积函数的绝对值是可积的，且$\int_a^b |f(x)| \mathrm{d}x \geqslant 0$。
5. 定积分具有正定性：若$f(x)$可积，那么$f^2(x)$也可积，且$\int_a^b f^2(x) \mathrm{d}x \geqslant 0$，取等号当且仅当$f(x)$几乎处处为零（函数值不为零的点组成的集合是一个零测集）。

上下节

• 下一节：积分第一中值定理

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.