完备空间(complete space)是一类 Cauchy 性质蕴含收敛性质的拓扑线性空间。由于描述拓扑空间中的序列收敛行为未必可以完全反映拓扑空间的性质,我们需要引入网的概念,这样研究 Cauchy 网就可以给出反映拓扑空间的性质的概念了,但是 Cauchy 网的引入又需要做减法,这就需要一定的代数结构,这样我们就直接在拓扑线性空间中考察各种各样的完备性质。
定义[]
假设是拓扑线性空间,是中的一个 Cauchy 列,那么它是有界的。
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我们还是按照一般度量空间中分析 Cauchy 列的有界性进行分析,分别考察有限项和充分大项之后的序列。首先对任意的原点的邻域,证明有界性就是要找一个使得。首先对而言存在原点的一个均衡邻域使得,根据 Cauchy 列的定义存在自然数使得当的时候成立,我们就取于是就有,下面我们就分析前项以及后面的项。
- 当的时候,由于是均衡的邻域,于是吸收任意单点集,进而存在使得,我们取正数就有
- 当的时候,我们有其中是因为是均衡的。
对于中的非空集合,如果
- 如果中的任一 Cauchy 网都收敛到中的元素,我们就称是完备的;
- 如果中的任一 Cauchy 列都收敛到中的元素,我们就称是序列完备的或亚完备的;
- 如果中的任一有界 Cauchy 网都收敛到中的元素,我们就称是有界完备的。
例子与反例[]
由上述定义我们知道完备必有界完备,有界完备必序列完备(因为 Cauchy 列是有界列),在第一可数空间中这三个概念等价,但是一般的拓扑线性空间中未必:
一个序列完备而不有界完备的局部凸空间。
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我们取是的底空间,取,这就是一个序列完备的,但是不是有界完备的,
一个有界完备而不完备的局部凸空间。
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假设拓扑线性空间第一可数,那么序列完备蕴含完备。
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根据第一可数空间的嵌套邻域基引理,我们得到存在的原点的可数邻域基满足,于是根据拓扑线性空间#引理1.2的第三条得到存在的一个子族(不妨仍记作)使得
任取中的 Cauchy 网,由于是原点的邻域,因此对每个存在使得对任意的都有,我们不妨假设满足,那么是 Cauchy 列进而根据序列完备性质得到这个序列收敛,即存在使得于是对任意的正整数存在使得当的时候成立进而当的时候成立
即收敛到
参考资料
- 夏道行, 《泛函分析第二教程》, 高等教育出版社, 北京, 2009-01, ISBN
978-7-0402-4750-3
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拓扑线性空间(学科代码:1105720,GB/T 13745—2009) | |
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