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完备度量空间是数学中十分重要的一类度量空间。

概念[]

假设有度量空间,且它是完备的,即每一个 Cauchy 列都是收敛列,我们就称是完备度量空间。展开例子折叠例子

  1. Euclid 空间是完备度量空间。
  2. Lp 空间是完备度量空间()。
  3. 连续函数空间按距离是完备度量空间,但是如果距离选择为 Riemann 积分,则不是完备的。
  4. Hilbert 空间是完备的。
  5. Sobolev 空间是完备的()。
  6. 有界变差函数空间是完备的。

任何一个度量空间均可以完备化,参见完备化空间。如果在一个度量空间上如果引入了代数结构(例如准范数范数内积),会得到 Frechet 空间Banach 空间Hilbert 空间。有了代数结构(范数、准范数)的不完备的空间也可以完备化。

压缩映射原理[]

完备度量空间中的一个最基本定理就是 Banach 不动点定理,也称压缩映射原理。设有度量空间,称映射是一个压缩映射,如果

假设是 完备度量空间上的一个压缩映射,那么上存在唯一的不动点,即存在唯一的满足方程

性质[]

完备度量空间有如下基本拓扑性质:

  1. 完备度量空间的子集是闭的当且仅当它是完备的,反之,完备性蕴含闭性,但是非完备的度量空间中闭性未必蕴含完备性,例如是度量空间(度量取绝对值距离)上的闭集,但不完备。
  2. 是完备度量空间中的点列,且存在 Cauchy 列满足那么是收敛列。
  3. 任意一个度量空间都可以等距同构嵌入到某个完备度量空间中去,这便是度量空间的完备化
  4. 完备度量空间中,子集列紧性完全有界性等价,这便是 Hausdorff 定理,这也等价于存在的列紧的网。
  5. Baire 定理)完备度量空间是第二纲集。

注意:完备性不是拓扑性质,例如,在上的通常度量外我们可以引入一个新的度量如下

这个度量和通常的 Euclid 度量等价,但是序列中的 Cauchy 序列,它不在中收敛,自然也不会在中收敛(因为恒同映射是同胚映射,进而将收敛列映为收敛列)。

闭集套定理[]

完备空间的一个等价刻画是闭集套定理,它类似实数集上的区间套定理

度量空间是完备的当且仅当对任意闭集列都存在唯一的点

上述定理的“仅当”部分如果不满足,最后的结论可能是空集。证明可参见L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3 Ed.)[§1.6], International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.

参考资料

  1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义(上册)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
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