完备度量空间 是数学中十分重要的一类度量空间。
概念 [ ]
假设有度量空间
X
{\displaystyle X}
,且它是完备的,即每一个 Cauchy 列都是收敛列,我们就称
X
{\displaystyle X}
是完备度量空间。展开例子 折叠例子
Euclid 空间 是完备度量空间。
Lp 空间
L
p
(
E
,
μ
)
{\displaystyle L^p(E, \mu)}
是完备度量空间(
1
⩽
p
⩽
+
∞
{\displaystyle 1 \leqslant p \leqslant +\infty}
)。
连续函数空间
C
:
X
→
C
{\displaystyle C:X \to \C}
按距离
ρ
(
x
,
y
)
=
sup
t
∈
X
|
x
(
t
)
−
y
(
t
)
|
{\displaystyle \rho(x, y) = \sup_{t \in X} |x(t) - y(t)|}
是完备度量空间,但是如果距离选择为 Riemann 积分
ρ
(
x
,
y
)
=
∫
X
|
x
(
t
)
−
y
(
t
)
|
d
t
{\displaystyle \rho(x, y) = \int_X |x(t) - y(t)| \mathrm{d}t}
,则不是完备的。
Hilbert 空间 是完备的。
Sobolev 空间
W
m
,
p
(
Ω
)
{\displaystyle W^{m,p}(\Omega)}
是完备的(
1
⩽
p
⩽
+
∞
{\displaystyle 1 \leqslant p \leqslant +\infty}
)。
有界变差函数 空间
B
V
[
a
,
b
]
{\displaystyle BV[a, b]}
是完备的。
任何一个度量空间均可以完备化,参见完备化空间 。如果在一个度量空间上如果引入了代数结构(例如准范数 、范数 或内积 ),会得到 Frechet 空间 、Banach 空间 或 Hilbert 空间 。有了代数结构(范数、准范数)的不完备的空间也可以完备化。
压缩映射原理 [ ]
完备度量空间中的一个最基本定理就是 Banach 不动点定理 ,也称压缩映射原理。设有度量空间
(
X
,
ρ
)
{\displaystyle (\mathcal{X}, \rho)}
,称映射
T
:
X
→
X
{\displaystyle T: \mathcal{X} \to \mathcal{X}}
是一个压缩映射,如果
∃
α
∈
(
0
,
1
)
,
∀
x
,
y
∈
X
,
ρ
(
T
x
,
T
y
)
⩽
α
ρ
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \exists \alpha \in (0, 1), \forall x, y \in \mathcal{X}, \rho(Tx, Ty) \leqslant \alpha \rho(x, y).}
假设
T
{\displaystyle T}
是 完备度量空间
(
X
,
ρ
)
{\displaystyle (\mathcal{X}, \rho)}
上的一个压缩映射,那么
T
{\displaystyle T}
在
X
{\displaystyle \mathcal {X}}
上存在唯一的
不动点 ,即存在唯一的
x
∗
∈
X
{\displaystyle x^* \in \mathcal{X}}
满足方程
x
∗
=
T
x
∗
.
{\displaystyle x^* = T x^*.}
性质 [ ]
完备度量空间有如下基本拓扑性质:
完备度量空间
X
{\displaystyle \mathcal {X}}
的子集是闭的当且仅当它是完备的,反之,完备性蕴含闭性,但是非完备的度量空间中闭性未必蕴含完备性,例如
Q
∩
[
0
,
1
]
{\displaystyle \mathbb{Q} \cap [0,1]}
是度量空间
Q
{\displaystyle \mathbb{Q}}
(度量取绝对值距离)上的闭集,但不完备。
设
{
x
n
}
{\displaystyle \{ x_n \}}
是完备度量空间中的点列,且
∀
ε
>
0
{\displaystyle \forall \varepsilon>0}
存在 Cauchy 列
{
y
n
}
{\displaystyle \{ y_n \}}
满足
ρ
(
x
n
,
y
n
)
<
ε
.
{\displaystyle \rho(x_n, y_n) < \varepsilon.}
那么
{
x
n
}
{\displaystyle \{ x_n \}}
是收敛列。
任意一个度量空间都可以等距同构嵌入到某个完备度量空间中去,这便是度量空间的完备化 。
完备度量空间中,子集
M
{\displaystyle M}
的列紧性 和完全有界性 等价,这便是 Hausdorff 定理 ,这也等价于
∀
ε
>
0
{\displaystyle \forall \varepsilon>0}
存在
M
{\displaystyle M}
的列紧的
ε
{\displaystyle \varepsilon}
网。
(Baire 定理 )完备度量空间是第二纲集。
注意:完备性不是拓扑性质 ,例如,在
X
=
R
{\displaystyle X = \R}
上的通常度量
d
{\displaystyle d}
外我们可以引入一个新的度量
d
1
{\displaystyle d_1}
如下
d
1
(
x
,
y
)
:=
|
x
1
+
|
x
|
−
y
1
+
|
y
|
|
,
∀
x
,
y
∈
R
.
{\displaystyle d_1(x, y) := \left| \dfrac{x}{1+|x|} - \dfrac{y}{1+|y|} \right|, \quad \forall x, y \in \R.}
这个度量和通常的 Euclid 度量等价,但是序列
{
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{ n \}_{n=1}^\infty}
是
(
X
,
d
1
)
{\displaystyle (X, d_1)}
中的 Cauchy 序列,它不在
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
中收敛,自然也不会在
(
X
,
d
1
)
{\displaystyle (X, d_1)}
中收敛(因为恒同映射
Id
:
(
X
,
d
)
→
(
X
,
d
2
)
{\displaystyle \text{Id}: (X, d) \to (X, d_2)}
是同胚映射,进而将收敛列映为收敛列)。
闭集套定理 [ ]
完备空间的一个等价刻画是闭集套定理,它类似实数集上的区间套定理 。
度量空间
R
{\displaystyle R}
是完备的当且仅当对任意闭集列
{
S
n
=
{
x
∈
R
:
ρ
(
x
,
x
n
)
⩽
ε
n
}
}
n
∈
N
(
lim
n
→
∞
ε
n
=
0
)
,
S
n
⊂
S
n
+
1
{\displaystyle \{ S_n = \{ x \in R: \rho(x, x_n) \leqslant \varepsilon_n \} \}_{n \in \N}~(\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0), S_n \subset S_{n+1}}
都存在唯一的点
x
0
∈
⋂
n
∈
N
S
n
.
{\displaystyle x_0 \in \bigcap_{n \in \N} S_n.}
上述定理的“仅当”部分如果不满足
lim
n
→
∞
ε
n
=
0
{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0}
,最后的结论可能是空集。证明可参见L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3 Ed.) [§1.6], International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4
.
参考资料