完备化空间

度量空间不总是完备空间，而完备空间中有更好的性质，我们将一个度量空间以最经济的方式扩充一些元素使之成为完备空间的过程称为完备化。

概念

包含给定的度量空间$(\mathcal{X}, \rho)$的最小的完备空间$(\mathcal{X}_1, \rho_1)$称为$(\mathcal{X}, \rho)$的完备化，这里最小的含义是：所有以$(\mathcal{X}, \rho)$为子空间的完备空间均包含$(\mathcal{X}_1, \rho_1)$。

稠密性引理

假设$(\mathcal{X}_1, \rho_1)$是以$(\mathcal{X}, \rho)$为子空间的完备度量空间，且将$\rho_1$限制在$\mathcal{X} \times \mathcal{X}$上（这通常记作$\rho_1|_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}}$）就是$\rho$，且$\mathcal {X}$在$\mathcal{X}_1$中稠密，那么$\mathcal{X}_1$是$\mathcal {X}$的完备化空间。

完备化空间定理

每一个度量空间都有一个完备化空间，可以从有理数到实数的扩充来理解这个定理，在那里我们选择 Cantor 基本列方法。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.