完備分布族

在數理統計中，完備分布族是一種特殊的參數分布族，形式上來理解這種分布族中非零「函數」可以用分布族中的「函數」（作為基底）線性表出，這也是完備性概念的來源。藉助它可以定義完全統計量。

概念

假設有樣本$\boldsymbol{X}$所在的參數分布族為$\mathcal{F} = \{ f(\boldsymbol{x}, \theta), \theta \in \varTheta \}$，其中$\varTheta$是參數空間，若對任意實函數$\varphi(X)$都有 $$E_\theta(\varphi(X)) = \int_{\R^{(n)}} \varphi(x) \mathrm{d} F(x) = 0$$ 蘊含 $$P_\theta \{ \varphi(X) = 0 \} = 1 \quad (\text{that is}, \varphi(x) = 0, \quad \text{a.e.})$$ 我們就說分布族$\mathcal{F}$是完備的。

例子

1. 兩點分布族$b(1, p)$是完備的。
2. 正態分布族$N(\mu, 1)$關於參數$\mu$是完備的，但是正態分布$N(0, \sigma^2)$關於參數$\sigma^2$是不完備的。
3. 指數分布族$\text{Exp}(\lambda)$是完備的。
4. 均勻分布族$U(0, \theta)$是完備的。
5. Γ 分布族是完備的。

參考資料

1. 韋來生, 《數理統計（第二版）》, 科學出版社, 北京, 2015-12, ISBN 978-7-0304-6573-3.