完备分布族

在数理统计中，完备分布族是一种特殊的参数分布族，形式上来理解这种分布族中非零“函数”可以用分布族中的“函数”（作为基底）线性表出，这也是完备性概念的来源。借助它可以定义完全统计量。

概念

假设有样本$\boldsymbol{X}$所在的参数分布族为$\mathcal{F} = \{ f(\boldsymbol{x}, \theta), \theta \in \varTheta \}$，其中$\varTheta$是参数空间，若对任意实函数$\varphi(X)$都有 $$E_\theta(\varphi(X)) = \int_{\R^{(n)}} \varphi(x) \mathrm{d} F(x) = 0$$ 蕴含 $$P_\theta \{ \varphi(X) = 0 \} = 1 \quad (\text{that is}, \varphi(x) = 0, \quad \text{a.e.})$$ 我们就说分布族$\mathcal{F}$是完备的。

例子

1. 两点分布族$b(1, p)$是完备的。
2. 正态分布族$N(\mu, 1)$关于参数$\mu$是完备的，但是正态分布$N(0, \sigma^2)$关于参数$\sigma^2$是不完备的。
3. 指数分布族$\text{Exp}(\lambda)$是完备的。
4. 均匀分布族$U(0, \theta)$是完备的。
5. Γ 分布族是完备的。

参考资料

1. 韦来生, 《数理统计（第二版）》, 科学出版社, 北京, 2015-12, ISBN 978-7-0304-6573-3.