完全統計量

數理統計中，完全統計量或稱完備統計量是一種特殊的統計量，它是極小充分統計量，可以由完備分布族來定義，完全充分統計量常用於一致最小方差無偏估計中。

概念

假設有樣本$\boldsymbol{X}$所在的參數分布族為$\mathcal{F} = \{ f(\boldsymbol{x}, \theta), \theta \in \varTheta \}$，其中$\varTheta$是參數空間，$T$是一個統計量，若對任意實函數$\varphi(t)$都有 $$E_\theta(\varphi(T)) = \int_{\R^{(n)}} \varphi(t) \mathrm{d} F(t) = 0$$ 蘊含 $$P_\theta \{ \varphi(T) = 0 \} = 1 \quad (\text{that is}, \varphi(t) = 0, \quad \text{a.e.})$$ 我們就說統計量$T$是完全統計量。

這等價於由$T$誘導出的分布族$\mathcal{F}_T = \{ f_T(t, \theta), \theta \in \varTheta \}$是完備的。

例子

1. 兩點分布族$b(1, p)$的完備統計量有$T = \sum_{k=1}^n X_k.$它同時也是充分統計量。
2. 正態分布族$N(0, \sigma^2)$關於參數$\sigma^2$不是完備分布族，但統計量$T = \sum_{k=1}^n X_k^2 \sim \Gamma \! \left(\frac{n}{2}, \frac{1}{2\sigma^2} \right)$是完備的。
3. 正態分布族$N(\mu, \sigma^2)$關於參數$\theta = (\mu, \sigma^2)$的完備統計量有$(\overline{X}, S^2).$它同時也是充分統計量。
4. 均勻分布族$U(0, \theta)$的完備統計量有$T = \max_{1 \leqslant k \leqslant n} X_k = X_{(n)}.$它同時也是充分統計量。

指數分布族

假設有樣本空間$\mathcal {X}$上的參數分布族$\mathcal{F} = \{ f(x, \theta): \theta \in \varTheta \}$，概率密度如果可以表示為 $$f(x, \theta) = C(\theta) \exp \left( \sum_{k=1}^n Q_k(\theta) T_k(x) \right) h(x).$$ 其中$C(\theta), Q_k(\theta)$僅是$\theta$的函數，$T_k(x), h(x)$僅是$x$的函數且$C(x), h(x) \geqslant 0.$ 若$C(\theta)$的值域有非空內部，那麼$T = (T_1, T_2, \cdots, T_n)$為充分完備統計量。

參考資料

1. 韋來生, 《數理統計（第二版）》, 科學出版社, 北京, 2015-12, ISBN 978-7-0304-6573-3.