完全统计量

数理统计中，完全统计量或称完备统计量是一种特殊的统计量，它是极小充分统计量，可以由完备分布族来定义，完全充分统计量常用于一致最小方差无偏估计中。

概念

假设有样本$\boldsymbol{X}$所在的参数分布族为$\mathcal{F} = \{ f(\boldsymbol{x}, \theta), \theta \in \varTheta \}$，其中$\varTheta$是参数空间，$T$是一个统计量，若对任意实函数$\varphi(t)$都有 $$E_\theta(\varphi(T)) = \int_{\R^{(n)}} \varphi(t) \mathrm{d} F(t) = 0$$ 蕴含 $$P_\theta \{ \varphi(T) = 0 \} = 1 \quad (\text{that is}, \varphi(t) = 0, \quad \text{a.e.})$$ 我们就说统计量$T$是完全统计量。

这等价于由$T$诱导出的分布族$\mathcal{F}_T = \{ f_T(t, \theta), \theta \in \varTheta \}$是完备的。

例子

1. 两点分布族$b(1, p)$的完备统计量有$T = \sum_{k=1}^n X_k.$它同时也是充分统计量。
2. 正态分布族$N(0, \sigma^2)$关于参数$\sigma^2$不是完备分布族，但统计量$T = \sum_{k=1}^n X_k^2 \sim \Gamma \! \left(\frac{n}{2}, \frac{1}{2\sigma^2} \right)$是完备的。
3. 正态分布族$N(\mu, \sigma^2)$关于参数$\theta = (\mu, \sigma^2)$的完备统计量有$(\overline{X}, S^2).$它同时也是充分统计量。
4. 均匀分布族$U(0, \theta)$的完备统计量有$T = \max_{1 \leqslant k \leqslant n} X_k = X_{(n)}.$它同时也是充分统计量。

指数分布族

假设有样本空间$\mathcal {X}$上的参数分布族$\mathcal{F} = \{ f(x, \theta): \theta \in \varTheta \}$，概率密度如果可以表示为 $$f(x, \theta) = C(\theta) \exp \left( \sum_{k=1}^n Q_k(\theta) T_k(x) \right) h(x).$$ 其中$C(\theta), Q_k(\theta)$仅是$\theta$的函数，$T_k(x), h(x)$仅是$x$的函数且$C(x), h(x) \geqslant 0.$ 若$C(\theta)$的值域有非空内部，那么$T = (T_1, T_2, \cdots, T_n)$为充分完备统计量。

参考资料

1. 韦来生, 《数理统计（第二版）》, 科学出版社, 北京, 2015-12, ISBN 978-7-0304-6573-3.