完全测度空间

完全测度空间是一中特殊的测度空间，在测度论的很多课题中我们总是假设一个测度空间是完全的，它有更强的性质，另一方面每个测度空间又都可以完全化。完全化的过程实际上是将一些零测集的子集添加进了原来的测度空间。

定义

假设有集合系$\mathcal{E} \in 2^X$及其上的测度$\mu$，$X$的某个子集生成的 σ-代数为$\mathcal{F}$，我们称$(X, \mathcal{F}, \mu)$是测度空间。

进而定义完全测度空间：

假设有测度空间$(X, \mathcal{E}, \mu)$满足：$\mu$的任意零测集的子集依然是$\mathcal{E}$中的元素，我们就称$(X, \mathcal{E}, \mu)$是完全的。

Caratheodory 定理

假设$\tau$是$X$上的一个外测度，我们称满足如下条件 $$\tau(D) = \tau(D \cap A) + \tau(D \cup \overline{A}), \quad \forall D \in \mathcal{E}$$ 的$X$的子集$A$称为$\tau$可测集，$D$称为测试集。全体$\tau$可测集组成的集合系记作$\mathcal{E}_\tau$，Caratheodory 定理指出：

假设$\tau$是$X$上的外测度，那么$\mathcal{E}_\tau$是 σ-代数，且$(X, \mathcal{E}_\tau, \tau)$是完全测度空间。

完全化

任何一个测度空间都可以被完全化，这就是下述定理：

对任意测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$定义如下集合系 $$\overline{\mathcal{F}} := \{ A \cup N: A \subset \mathcal{F}, \exists N \subset B \in \mathcal{F} : \mu(B) = 0. \}$$ 则$\overline{\mathcal{F}}$是 σ-代数。

如果对$A \cup N \in \overline{\mathcal{F}}$定义 $${\overline {\mu }}(A\cup N)=\mu (A),$$ 那么$(X, \overline{\mathcal{F}}, \overline{\mu})$是完全测度空间且 $$\forall A \in \mathcal{F}, \overline{\mu}(A) = \mu(A).$$ 这个完全测度空间称为原来测度空间的完全化。

特别地，假设$\tau$是半环$\mathcal{D}$上σ有限测度$\mu$生成的外测度，那么$(X, \sigma(\mathcal{D}), \tau)$的完全化是$(X, \mathcal{F}_\tau, \tau)$，其中$\mathcal{F}_\tau$是全体$\tau$可测集。

参考资料

1. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.