完全正则空间

完全正则空间是一种特殊的满足某种分离公理的拓扑空间。

定义

一个拓扑空间$X$是完全正则的，是指对任意$x \in X$以及不含$x$的闭集$A$，存在一个连续映射$f: X \to [0, 1]$满足$f(x) = 0, f(A) = 1.$

完全正则的$T_1$空间称为$T_{3.5}$空间，或者 Tychonoff 空间。它是$T_3$的。完全正则性是拓扑性质。

性质

1. Urysohn 引理指出：每一个$T_1$且$T_4$的空间是$T_{3.5}$的。
2. $T_3$且$T_4$的空间是完全正则空间。
3. $X$是$T_{3.5}$的当且仅当对任意$x \in X$和不含$x$的闭集或单点子集$A$存在连续映射$f: X \to [0, 1]$使得$f(x) = 0, f(A) = 1.$
4. 非单点集的连通$T_{3.5}$空间中的非空开集是不可数集。
5. $T_3$的第二可数空间是完全正则空间。
6. $T_{3.5}$空间的子空间是$T_{3.5}$的。
7. 完全正则空间的有限乘积空间是完全正则的。

参考资料

1. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.