完全数

完全数是指所有比自己小的因数的和等于自身的数。

目前已知的完全数全是偶数，目前(2025年)尚未证实是否有奇数完全数存在，同时也不知道是否有无限多个完全数存在(完全数的数量与梅森质数相关)。

例子

几个完全数的例子如下：

• 6 = 1+2+3
• 28 = 1+2+4+7+14
• 496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248
• 8128 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

性质

若一个完全数是偶数，它必定符合$2^{p-1}*(2^p - 1)$的形式，其中p和$2^p - 1$是质数，但反过来，符合$2^{p-1}*(2^p - 1)$的形式且p是质数的数，未必是完全数。不过若$2^p - 1$是质数，则$2^{p-1}*(2^p - 1)$是一个完全数，可写成$2^p - 1$形式的质数，又称为梅森质数。

虽奇完全数尚未被找到(可能没有)，但已有人已初等的方法证明若一个数是奇完全数，则其必然是36q+9或12m+1形式的数(Touchard定理)。

参见

• 质数
• 亲和数
• 费马数