完全數

完全數是指所有比自己小的因數的和等於自身的數。

目前已知的完全數全是偶數，目前(2025年)尚未證實是否有奇數完全數存在，同時也不知道是否有無限多個完全數存在(完全數的數量與梅森質數相關)。

例子

幾個完全數的例子如下：

• 6 = 1+2+3
• 28 = 1+2+4+7+14
• 496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248
• 8128 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

性質

若一個完全數是偶數，它必定符合$2^{p-1}*(2^p - 1)$的形式，其中p和$2^p - 1$是質數，但反過來，符合$2^{p-1}*(2^p - 1)$的形式且p是質數的數，未必是完全數。不過若$2^p - 1$是質數，則$2^{p-1}*(2^p - 1)$是一個完全數，可寫成$2^p - 1$形式的質數，又稱為梅森質數。

雖奇完全數尚未被找到(可能沒有)，但已有人已初等的方法證明若一個數是奇完全數，則其必然是36q+9或12m+1形式的數(Touchard定理)。

參見

• 質數
• 親和數
• 費馬數