这里主要介绍拓扑空间中的子拓扑和子空间(subspace),关于线性空间的子空间,参见线性子空间。
定义[]
假设有拓扑空间
,
是
的一个子集,定义
上的拓扑
是:

即

上的
开集是用

中的开集和

作交集得到的。这样的拓扑称为子空间拓扑,

也被称为

的子空间。
可以证明,
中的一个集合
是闭的当且仅当存在
中的
使得
注意:子空间中的开集未必是
中的开集,例如我们选择
,那么
是
中的开集而不是
中的开集,为了区分这样的情况,我们说
中的开集是相对的,同样,邻域、闭集、闭包、内部、外部和边界都是相对的概念。假设
是
的子空间,如果
且
是
中的开集/闭集,
是
中的开集/闭集,那么
也是
中的开集/闭集。
特征性质[]
假设
是拓扑空间,
是
的子空间,对任意拓扑空间
,映射
是连续的当且仅当
是连续的。这里
是嵌入映射。且满足这个性质的拓扑只有子拓扑。
推论:假设
是连续的,那么
- 嵌入映射
是连续的。
- 限制映射
是连续的。
是连续的。
可继承性[]
我们称
具有的某个拓扑性质是可继承的,是指对任意的子空间
,
也有这样的性质。
- 子空间是可继承的:若
是
的子空间,
是
的子空间,那么
是
的子空间。
- Hausdorff 性质是可继承的:假设
是 Hausdorff 空间,那么
作为
的子空间也是 Hausdorff 的。
- 第一可数空间的子空间是第一可数空间。
- 第二可数空间的子空间是第二可数空间。
- 假设
是
的拓扑基,那么
是子空间
的拓扑基。
- 假设
且
,那么
拓扑嵌入[]
假设
是拓扑空间
的子空间,那么嵌入映射
是拓扑嵌入(topological embedding)。
一般的拓扑嵌入的定义要求
是单连续映射且是
到
的同胚。把开集映为开集或将闭集映为闭集的连续单映射是拓扑嵌入。
满的拓扑嵌入是
的同胚。
参考资料
- John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN
978-1-4419-7939-1
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