子空間

這裏主要介紹拓撲空間中的子拓撲和子空間（subspace），關於線性空間的子空間，參見線性子空間。

定義

假設有拓撲空間$(X, T)$，$S$是$X$的一個子集，定義$S$上的拓撲$T_S$是：

$$T_S := \{ U \subset S: U = S \cap V \text{ for some } V \in T \}.$$

即$S$上的開集是用$X$中的開集和$S$作交集得到的。這樣的拓撲稱為子空間拓撲，$S$也被稱為$X$的子空間。

可以證明，$S$中的一個集合$U$是閉的當且僅當存在$X$中的$V$使得$U = S \cap V.$

注意：子空間中的開集未必是$X$中的開集，例如我們選擇$X = \R, S = [0, 1]$，那麼$(a, 1], a \in (0, 1)$是$S$中的開集而不是$X$中的開集，為了區分這樣的情況，我們說$S$中的開集是相對的，同樣，鄰域、閉集、閉包、內部、外部和邊界都是相對的概念。假設$S$是$X$的子空間，如果$U \subset S$且$U$是$S$中的開集/閉集，$S$是$X$中的開集/閉集，那麼$U$也是$X$中的開集/閉集。

特徵性質

假設$X$是拓撲空間，$S$是$X$的子空間，對任意拓撲空間$Y$，映射$f: Y \to S$是連續的當且僅當$\iota_S \circ f: Y \to X$是連續的。這裏$\iota_S: S \to X$是嵌入映射。且滿足這個性質的拓撲只有子拓撲。

推論：假設$f: X \to Y$是連續的，那麼

1. 嵌入映射$\iota_S: S \to X$是連續的。
2. 限制映射$f|_S: S \subset X \to Y$是連續的。
3. $f: X \to T \supset f(X)$是連續的。

可繼承性

我們稱$X$具有的某個拓撲性質是可繼承的，是指對任意的子空間$S \subset X$，$S$也有這樣的性質。

1. 子空間是可繼承的：若$S$是$X$的子空間，$R$是$S$的子空間，那麼$R$是$X$的子空間。
2. Hausdorff 性質是可繼承的：假設$X$是 Hausdorff 空間，那麼$S$作為$X$的子空間也是 Hausdorff 的。
3. 第一可數空間的子空間是第一可數空間。
4. 第二可數空間的子空間是第二可數空間。
5. 假設$\mathcal{B}$是$X$的拓撲基，那麼$\mathcal{B}_S = \{ B \cap S: B \in \mathcal{B} \}$是子空間$S$的拓撲基。
6. 假設$\{ p_i \} \subset S$且$p_i \to p \in S$，那麼$p_i \to p \in X.$

拓撲嵌入

假設$S$是拓撲空間$X$的子空間，那麼嵌入映射$\iota_S: S \to X$是拓撲嵌入（topological embedding）。

一般的拓撲嵌入的定義要求$f: X \to Y$是單連續映射且是$X$到$f(X)$的同胚。把開集映為開集或將閉集映為閉集的連續單映射是拓撲嵌入。

滿的拓撲嵌入是$X \to Y$的同胚。

參考資料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.