子空间

这里主要介绍拓扑空间中的子拓扑和子空间（subspace），关于线性空间的子空间，参见线性子空间。

定义

假设有拓扑空间$(X, T)$，$S$是$X$的一个子集，定义$S$上的拓扑$T_S$是：

$$T_S := \{ U \subset S: U = S \cap V \text{ for some } V \in T \}.$$

即$S$上的开集是用$X$中的开集和$S$作交集得到的。这样的拓扑称为子空间拓扑，$S$也被称为$X$的子空间。

可以证明，$S$中的一个集合$U$是闭的当且仅当存在$X$中的$V$使得$U = S \cap V.$

注意：子空间中的开集未必是$X$中的开集，例如我们选择$X = \R, S = [0, 1]$，那么$(a, 1], a \in (0, 1)$是$S$中的开集而不是$X$中的开集，为了区分这样的情况，我们说$S$中的开集是相对的，同样，邻域、闭集、闭包、内部、外部和边界都是相对的概念。假设$S$是$X$的子空间，如果$U \subset S$且$U$是$S$中的开集/闭集，$S$是$X$中的开集/闭集，那么$U$也是$X$中的开集/闭集。

特征性质

假设$X$是拓扑空间，$S$是$X$的子空间，对任意拓扑空间$Y$，映射$f: Y \to S$是连续的当且仅当$\iota_S \circ f: Y \to X$是连续的。这里$\iota_S: S \to X$是嵌入映射。且满足这个性质的拓扑只有子拓扑。

推论：假设$f: X \to Y$是连续的，那么

1. 嵌入映射$\iota_S: S \to X$是连续的。
2. 限制映射$f|_S: S \subset X \to Y$是连续的。
3. $f: X \to T \supset f(X)$是连续的。

可继承性

我们称$X$具有的某个拓扑性质是可继承的，是指对任意的子空间$S \subset X$，$S$也有这样的性质。

1. 子空间是可继承的：若$S$是$X$的子空间，$R$是$S$的子空间，那么$R$是$X$的子空间。
2. Hausdorff 性质是可继承的：假设$X$是 Hausdorff 空间，那么$S$作为$X$的子空间也是 Hausdorff 的。
3. 第一可数空间的子空间是第一可数空间。
4. 第二可数空间的子空间是第二可数空间。
5. 假设$\mathcal{B}$是$X$的拓扑基，那么$\mathcal{B}_S = \{ B \cap S: B \in \mathcal{B} \}$是子空间$S$的拓扑基。
6. 假设$\{ p_i \} \subset S$且$p_i \to p \in S$，那么$p_i \to p \in X.$

拓扑嵌入

假设$S$是拓扑空间$X$的子空间，那么嵌入映射$\iota_S: S \to X$是拓扑嵌入（topological embedding）。

一般的拓扑嵌入的定义要求$f: X \to Y$是单连续映射且是$X$到$f(X)$的同胚。把开集映为开集或将闭集映为闭集的连续单映射是拓扑嵌入。

满的拓扑嵌入是$X \to Y$的同胚。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.