中文数学 Wiki
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这里主要介绍拓扑空间中的子拓扑和子空间(subspace),关于线性空间的子空间,参见线性子空间

定义[]

假设有拓扑空间的一个子集,定义上的拓扑是:

上的开集是用中的开集和作交集得到的。这样的拓扑称为子空间拓扑,也被称为的子空间。

可以证明,中的一个集合是闭的当且仅当存在中的使得

注意:子空间中的开集未必是中的开集,例如我们选择,那么中的开集而不是中的开集,为了区分这样的情况,我们说中的开集是相对的,同样,邻域闭集闭包内部外部边界都是相对的概念。假设的子空间,如果中的开集/闭集,中的开集/闭集,那么也是中的开集/闭集。

特征性质[]

假设是拓扑空间,的子空间,对任意拓扑空间,映射是连续的当且仅当是连续的。这里是嵌入映射。且满足这个性质的拓扑只有子拓扑。

推论:假设是连续的,那么

  1. 嵌入映射是连续的。
  2. 限制映射是连续的。
  3. 是连续的。

可继承性[]

我们称具有的某个拓扑性质是可继承的,是指对任意的子空间也有这样的性质。

  1. 子空间是可继承的:若的子空间,的子空间,那么的子空间。
  2. Hausdorff 性质是可继承的:假设Hausdorff 空间,那么作为的子空间也是 Hausdorff 的。
  3. 第一可数空间的子空间是第一可数空间。
  4. 第二可数空间的子空间是第二可数空间。
  5. 假设拓扑基,那么是子空间的拓扑基。
  6. 假设,那么

拓扑嵌入[]

假设是拓扑空间的子空间,那么嵌入映射是拓扑嵌入(topological embedding)。

一般的拓扑嵌入的定义要求是单连续映射且是同胚。把开集映为开集或将闭集映为闭集的连续单映射是拓扑嵌入。

满的拓扑嵌入是的同胚。

参考资料

  1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
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