子模(submodule)是承袭了一个模上加法和数乘作用的模的子集。
定义[]
设有 R-模
,
是
的子集,如果
关于
的作用
封闭,这也就是说
我们就说
是
的子 R-模,
用同态的观点不难解释它的等价条件:仍假设
是
的子集,映射
是一个嵌入模同态,我们就说
是
的子 R-模。
例子[]
- 模同态
的同态象和同态核分别是
的子模,这一点在群或环里不一定成立。
- 特殊的模(环作用在自己的底集上)
的子模是
的理想,作用是环上的乘法。
- 线性空间
的子模是它的子空间。
- 设有 R-模
以及元素
,那么
是
的子模。
- 设有 R-模
以及
的理想
,那么
是
的子模。这个和是有限和,可参见理想的乘法。
设
是 R-模,
是
的子模,那么考察集合
,注意到
是交换群,因此
已经是
的正规子群了,因此
确实决定了一个商群,他的加法正是模
上的加法

现在我们要让

成为一个环,因此需要良定义合适的乘法,实际上它被如下定义

这样定义的原因是我们必须要求吸收性

这正是子模的第一种定义。
这样
称为一个模,被称为
商
的模(商模)。
参考资料
- Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN
978-1-4704-6571-1
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