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子模(submodule)是承袭了一个上加法和数乘作用的模的子集。

定义[]

设有 R-模的子集,如果关于的作用封闭,这也就是说我们就说的子 R-模,

用同态的观点不难解释它的等价条件:仍假设的子集,映射是一个嵌入模同态,我们就说的子 R-模。

例子[]

  1. 模同态的同态象和同态核分别是的子模,这一点在群或环里不一定成立。
  2. 特殊的模(环作用在自己的底集上)的子模是理想,作用是环上的乘法。
  3. 线性空间的子模是它的子空间。
  4. 设有 R-模以及元素,那么的子模。
  5. 设有 R-模以及的理想,那么的子模。这个和是有限和,可参见理想的乘法

商模[]

是 R-模,的子模,那么考察集合,注意到交换群,因此已经是正规子群了,因此确实决定了一个商群,他的加法正是模上的加法

现在我们要让成为一个环,因此需要良定义合适的乘法,实际上它被如下定义
这样定义的原因是我们必须要求吸收性
这正是子模的第一种定义。

这样称为一个模,被称为的模(商模)。

参考资料

  1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.
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