子代数

子代数（subalgebra）是泛代数上的一个概念，子集、子群、线性子空间等概念的推广。

定义

假设有两个同类型$\mathcal{F}$的代数$(A, \mathcal{F}|_A), (B, \mathcal{F}|_B)$，且$B$是$A$的子集，另一方面对于$(B, \mathcal{F}|_B)$上的每个代数运算$f^B \in \mathcal{F}$，它都是$(A, \mathcal{F}|_A)$对应的运算$f^A \in \mathcal{F}$的限制（restriction），即对任意的$x_i \in B$（自然$x_i \in A$）都有 $$f^B(x_1, x_2, \cdots, x_n) = f^A(x_1, x_2, \cdots, x_n).$$ 这样，我们就称$(B, \mathcal{F}|_B)$是$(A, \mathcal{F}|_A)$的子代数，$B$称为$A$的子泛（subuniverse）。

子泛可以是空集，但它不是任意子代数的底集。

如果$(A, \mathcal{F}|_A)$中有零元运算，那么子代数中一定都有这个零元运算。

嵌入

假设$(B, \mathcal{F}|_B)$和$(A, \mathcal{F}|_A)$是同型代数，且存在一个单射$\alpha: B \to A$满足 $$\forall x_i \in B, \alpha f^B(x_1, x_2, \cdots, x_n) = f^A(\alpha x_1, \alpha x_2, \cdots, \alpha x_n)$$ 我们就说$\alpha$是嵌入（embeding）映射，或单态射（monomorphism）。显然如果$B$是$A$的子代数，那么存在这样的嵌入映射。

如果$\alpha: A \to B$是嵌入映射，那么$\alpha(A)$是$B$的子泛，进一步，$(\alpha(A), \mathcal{F}|_B)$是$B$的子代数。

生成子泛

假设有代数$A$，给定$A$的子泛$X$，定义 $$\text{Sg}(X) = \bigcap \{ B: X \subset B, B \text{ is a subuniverse of } A. \}$$ 是$X$生成的子泛（$\text{Sg}(X)$ is the subuniverse generated by X）。

$\text{Sg}(X)$是$A$的代数闭包算子。实际上如果定义$E^0(X) = X, E^k(X) = E(E^{k-1}(X)), k > 0$，于是 $$\text{Sg}(X) = \bigcup_{k=0}^\infty E^k(X).$$ 进一步可得，$\text{Sg}(X)$形成的格是代数格。进而有有限生成的代数的概念，详见 Birkhoff-Frink 定理。

参考资料

1. S. Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, GTM Vol.78, Springer, New York, 2011-10, ISBN 978-1-4613-8132-7.