多项分布

在概率论中，多项分布是二项分布的推广，是多元离散型随机现象重要的一种（另一种是多元超几何分布）。

模型

设在推广的$n$重伯努利试验中，一组互斥事件$A_i, i = 1,2,\cdots,m$满足 $\sum_{i=1}^m A_i = \mathit{\Omega}.$
设$P(A_i) = p_i, i = 1,2,\cdots,m$，显然有$\sum_{i=1}^m p_i = 1.$
那么在$n$次试验中，事件$A_i$出现$k_i$次（$i=1,2,\cdots ,m$且满足$\sum_{i=1}^m k_i = n$）的概率是 $$P\{X_1 = k_1, X_2 = k_2, \cdots, X_m = k_m\} = \dfrac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!} p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}.$$ 由于上式为多项式展开的一般项，故得名多项分布。它满足规范性 $$\sum_{\overset{k_1 \geqslant 0}{k_1 + k_2 + \cdots + k_m = n}} \dfrac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!} p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m} = (p_1+p_2+\cdots+p_m)^n = 1.$$ 当$n=2$时就是二项分布。

随机向量

设$X_i$分别表示$A_i$出现的次数，则$\boldsymbol{X} = (X_1, X_2, \cdots, X_m)$为该分布的随机向量，并有 $$P\{\boldsymbol{X} = (k_1, k_2, \cdots, k_m)\} = \dfrac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_m!} p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}.$$

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.