多項式

爲了研究多項式的相關理論，如因式分解，我們需要對多項式的一些概念做説明。

定義[]

設 $\mathbb{P}$ 是一個數域， $a_i \in \mathbb{P}, i = 1,2,\cdots,n$ ， $x$ 是一文字，稱

f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0, a_n \ne 0

為

\mathbb{P}

上一關於

x

的多項式。

項：多項式中每一個 $a_i x^i$ 皆稱之為多項式的項。
首項：指多項式的項中次數最大者，若多項式首項為 $a_n x^n, a_n \ne 0$ ，則稱此多項式為 $n$ 次多項式。
項數：顧名思義，即為多項式項的數目，不計算 $a_i = 0$ 的那些項。
同次項：若有多個多項式，其中每一項的 $x^i$ 項稱之為這些多項式的同次項。
係數：多項式中某一項 $a_i x^i$ 中的 $a_n$ 就稱作對應於 $x_i$ 的係數，也叫 $i$ 次項係數。
次數：多項式的非零最高項的次數，如上，儅 $a_n \ne 0$ 時次數為 $n$ ，記作 $\partial f(x) = n$ 或 $\deg f(x) = n$ 。
零次多項式(單項式，有時不被視為多項式)：指多項式 $f(x) = a_0 \in \mathbb{P} - \{0\}$ ，沒有 $x^n, n > 0$ 的項。
零多項式： $f(x) = 0$ ，不定義零多項式的次數，或有時約定為負無窮大。
數域 $\mathbb{P}$ 上關於 $x$ 的多項式的全體記作 $\mathbb{P}[x]$ ，并將數域 $\mathbb{P}$ 上次數不高於 $n$ 次的全體多項式記作 $\mathbb{P}_n [x].$

多項式裡面的任意 $x^n$ 的 $n$ 必須為正整數，否則不能稱之為多項式。以下的式子為多項式：

 $x^{10} + 60x^8 - 33x^5 +42x^2 - 3$ 、 $(\sqrt{2} - \sqrt[3]{5})x^2 - \sqrt[4]{6}$ 、 $\pi ^e x^{10^{10}} - 6x +1$ 、 $(3 + i)x^5 - 2i x^2 + 1$

以下的式子不為多項式：

 $2x^3 + 10x^{-1}$ 、 $5x ^ {\sqrt 2} + x^{3\pi} + 2x - 1$ 、 $x^3 - 5x^{\frac{2}{3}} + 4\sqrt{x} -3\sqrt[3]{x^5}$ 、 $\sqrt{1 + x^2}$

兩個多項式是相等的，是指它們各自包含的單項式收集起來后的兩個集合（該集合天然包含零）是相等的，因此，多項式中可任意添加或去除有限個係數爲零的單項式，也可以交換各單項是之間的次序。

多項式有類似於一般數字的運算，凡舉加減乘除在多項式中都有相對應的演算法。當中間有些項的係數為零時，最好將這些項也給寫出來，以減少錯誤，而寫答案時，係數為零的項可省略不寫。

若有兩個多項式 $f(x), g(x)$ ，它們的同次項可相加，例子如下：

例： $f(x) = 2 x^4 + 3 x^3 + 2 x^2 + 5 x + 5$ 、 $g(x) = 5 x^4 + 10 x^3 + x^2 + 3 x + 2$ 則

{\displaystyle \begin{align} f(x) + g(x) & = (2 x^4 + 3 x^3 + 2 x^2 + 5 x + 5) + (5 x^4 + 10 x^3 + x^2 + 3 x + 2) \\ & = 7 x^4 + 13 x^3 + 3 x^2 + 8 x + 7 \end{align}}

多項式的加法滿足交換律和結合律，且滿足消去律。

減法被定義爲加法的逆運算，實質是多項式中同次項對應相減的結果。

例： $f(x)= 36 x^5 + 7 x^4 + 66 x^3 + 36 x^2 + 66x + 36$ 、 $g(x) = 5 x^5 - 73 x^4 - 11 x^3 + 11 x^2 + 5 x + 111,$ 則

{\displaystyle \begin{align} f(x) - g(x) & = (36{\color{Orange}-5})x^5 + (7{\color{Orange}+73})x^4 + (66{\color{Orange}+11}) x^3 + (36{\color{Orange}-11}) x^2 + (66{\color{Orange}-5}) x + (36{\color{Orange}-111}) \\ & = 31x^5 + 80x^4 + 77 x^3 + 25 x^2 + 61 x - 75 \end{align}}

多項式的乘法， $f(x) \cdot g(x)$ ，簡記作 $f(x) g(x)$ ，就是 $f(x)$ 的每一項，都乘以 $g(x)$ 的每一項，單項式的乘法依照的是係數相乘係數相加之原則。

例： $f(x)=x^2+x+36, g(x)=x^2+x+11$ ，則

{\displaystyle \begin{align} f(x)g(x) & = 36x^2+ 36x+ 36*11+ 11x^2+ 11x+ x^3+ x^2+ x^4+ x^3 \\ & = x^4+ (1+1)x^3+ (36+11+1)x^2+ (36+11)x+ (36*11)= x^4+2x^3+48x^2+47x+396 \end{align}}

我們如上定義的乘法實質上是用分配律原則定義的，此外乘法也存在交換律和結合律。

藉助多項式的乘法，單項式 $a x^n$ 可解釋爲 $a$ 和 $n$ 個 $x$ 的乘積。

多項式除法， $f(x)$ 除以 $g(x)$ ，意即求出商式 $q(x)$ 和餘式 $r(x)$ ，使得 $f(x)=q(x)g(x)+r(x)$ ，其中 $\deg(r)<\deg(g).$ 除法較爲複雜，這樣做的可行性我們在多項式的帶余除法中討論。

設 $f(x), g(x) \in \mathbb{P}[x]$ ，那麽