多元积分

多元积分是分析中重要的内容，也是在物理等其它领域有重要应用的一部分。对于一个定义在某区域上的多元函数，我们可以像一元定积分那样定义多元定积分。在多元积分学中我们研究的函数大多数是性质较好的函数，因为这些函数在实际中有明确的应用背景。

概念

设有一个可度量的几何闭域$\mathit{\Omega}$，在其上定义了一个多元函数$f(M), \forall M \in \mathit{\Omega}.$将$\mathit{\Omega}$分为若干部分$\Delta \mathit{\Omega}_i, i = 1,2,\cdots, n$使其满足$\mathit{\Omega} = \bigcup_{i=1}^n \Delta \mathit{\Omega}_i$且$\Delta \mathit{\Omega}_i \cap \Delta \mathit{\Omega}_j = \varnothing, \forall i \ne j$，记$||\Delta|| = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} d(\Delta \mathit{\Omega}_i)$（所有分割部分的直径的最大值，也叫分割的模），在$\Delta \mathit{\Omega}_i$中任取一点$M_i$，作下述积分和式

$$\sum_{i=1}^n f(M_i) \Delta \mathit{\Omega}_i$$

如果上述和式在$||\Delta|| \to 0$时对任意的分割方法和任意的$M_i \in \Delta \mathit{\Omega}_i$都有唯一的有限值，我们就说函数$f(M)$在$\mathit{\Omega}$上 Riemann 可积，积分和式的极限叫作$f(M)$在$\mathit{\Omega}$上的定积分（Riemann 积分），记作

$$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} = \lim_{||\Delta|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(M_i) \Delta \mathit{\Omega}_i.$$

特殊情形

多元定积分的这一定义，和一元定积分颇有相似，我们有如下特殊情形

1. 当$\mathit{\Omega}$为实数上的有限区间$[a, b]$，且$f(x) : [a, b] \to \R^1$，上述积分即为一元定积分
   $$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x.$$
2. 当$\mathit{\Omega}$为实平面上的有界闭域$D$，且$f(\boldsymbol{x}) : D \to \R^1$，上述积分即为二重积分
   $$\iint_D f(\boldsymbol{x}) \mathrm{d}\sigma.$$
3. 当$\mathit{\Omega}$为实三维空间内的有界闭域$V$，且$f(\boldsymbol{x}) : V \to \R^1$，上述积分即为三重积分
   $$\iiint_V f(\boldsymbol{x}) \mathrm{d}\tau.$$
4. 当$\mathit{\Omega}$为$d$维空间内的有界闭域$V$，且$f(\boldsymbol{x}) : V \to \R^1$，上述积分即为一般的$d$重积分。
5. 当$\mathit{\Omega}$为$d$维空间内的有界曲线$l$，且$f(\boldsymbol{x}) : l \to \R^1$，上述积分即为第一型曲线积分
   $$\int_l f(\boldsymbol{x}) \mathrm{d}l.$$
6. 当$\mathit{\Omega}$为$d$维空间内的有界曲面$\mathit{\Sigma}$，且$f(\boldsymbol{x}) : \mathit{\Sigma} \to \R^1$，上述积分即为第一型曲面积分
   $$\iint_\mathit{\Sigma} f(\boldsymbol{x}) \mathrm{d}\sigma.$$
7. 当$\mathit{\Omega}$为三维空间内的定向光滑（或逐段光滑）定向曲线$\boldsymbol{L}$，且$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) : \boldsymbol{L} \to \R^3$为定义在$\boldsymbol{L}$上的向量函数（映射）时，上述积分即为第二型曲线积分
   $$\int_\boldsymbol{L} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}.$$
8. 当$\mathit{\Omega}$为三维空间内的定向光滑（或逐段光滑）定向曲面$\boldsymbol{S}$，且$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) : \boldsymbol{S} \to \R^3$为定义在$\boldsymbol{S}$上的向量函数（映射）时，上述积分即为第二型曲面积分
   $$\iint_\boldsymbol{S} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}.$$

后两个积分为向量积分，它们在物理的力学和电磁学中有重要应用，其定义虽也是分割求和取极限，但需要用到向量的内积等运算。

性质

可以仿照一元定积分得出下述多元定积分的相关性质，为叙述方便我们总假设下述积分有意义。

1. 积分对被积函数的线性性：
   $$\int_\mathit{\Omega} [af(M)+bg(M)] \mathrm{d}\mathit{\Omega} = a\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} + b\int_\mathit{\Omega} g(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}, \quad a, b \in \R.$$
2. 积分对积分区域的可加性（进而可以推出有限可加性）：
   $$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} = \int_{\mathit{\Omega}_1} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} + \int_{\mathit{\Omega}_2} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}, \quad \mathit{\Omega} = \mathit{\Omega}_1 + \mathit{\Omega}_2.$$
3. 可积一定可以推出绝对可积（但反之未必），且有：
   $$\left| \int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} \right| \leqslant \int_\mathit{\Omega} |f(M)| \mathrm{d}\mathit{\Omega}.$$
4. 积分的保序性：若$f(M) \leqslant g(M), \forall M \in \mathit{\Omega}$，那么有
   $$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} \leqslant \int_\mathit{\Omega} g(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}.$$

积分中值定理

积分第一中值定理：设$m(\mathit{\Omega})$为$\mathit{\Omega}$的测度，那么存在常数$c$使得

$$\int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} = c \int_\mathit{\Omega} \mathrm{d}\mathit{\Omega} = c \cdot m(\mathit{\Omega}).$$

进一步，如果$f(M)$是$\mathit{\Omega}$上的连续函数，那么由连续函数的介值定理得到，存在$M_0 \in \mathit{\Omega}$，使得

$$f(M_0) = \dfrac{1}{m(\mathit{\Omega})} \int_\mathit{\Omega} f(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}.$$

设$f(M)$是$\mathit{\Omega}$上的连续函数，$g(M)$是$\mathit{\Omega}$上的连续保号函数，那么存在点$P \in \mathit{\Omega}$，成立下式

$$\int_\mathit{\Omega} f(M) g(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega} = f(P) \int_\mathit{\Omega} g(M) \mathrm{d}\mathit{\Omega}.$$

上下节

• 上一节：Euler 积分
• 下一节：积分区域

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.