多元函数的 Taylor 公式

在一元微分学中，Taylor 公式发挥着重要的作用，它的基本思想是用某一点的函数值为基础，用一系列多项式来逼近原函数，这在计算信息处理时非常高效，在多元微分理论中，Taylor 公式可以做相应的推广，这便是多元函数的 Taylor 公式。

多元函数的 Taylor 公式可以由一元函数的公式推导而来，但它并不像一元的地位那样高，尤其是三阶导数以上的部分。在实际研究中常常取两阶之内的公式来解决相关问题，

形式

以二元函数为例，设函数$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的某个邻域内有直到$n+1$阶连续偏导数，那么它的 Taylor 公式是如下形式的表述：

$$\begin{align} f(x_0 + p, y_0 + q) & = f(x_0, y_0) + \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k!} \left( p\dfrac{\partial}{\partial x} + q\dfrac{\partial}{\partial y} \right)^k f(x_0, y_0) \\ & + \dfrac{1}{(n+1)!} \left( p\dfrac{\partial}{\partial x} + q\dfrac{\partial}{\partial y} \right)^{n+1} f(x_0 + \theta p, y_0 + \theta q).\end{align}$$

其中，$0<\theta<1$，算符

$$\left( p\dfrac{\partial}{\partial x} + q\dfrac{\partial}{\partial y} \right)^k = \sum_{i=0}^k \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} p^{k-i} q^i \dfrac{\partial^k}{\partial x^{k-i}\partial y^i}.$$

当多元函数（不必二元）的 Taylor 公式写到二阶导数，并写成向量和矩阵形式时（这时比较常用），是

$$f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{x_0}) + (\nabla f(\boldsymbol{x_0}))^\text{T} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x_0}) + \dfrac{1}{2!} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x_0})^\text{T} \boldsymbol{H(x_0)} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x_0}) + o(|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x_0}|^2).$$

其中，二阶导数的矩阵（被称为黑塞矩阵）是

$$\boldsymbol{H(x_0)} = \left( \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_i \partial x_j} \right)_{n \times n} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_2 \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_2^2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_n \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_n^2} \\ \end{pmatrix}.$$

如果函数存在连续的二阶偏微分，那么上述矩阵就是实对称矩阵，一定有$n$个实特征根。

如果将上述公式展开到更高阶，可以使用张量来像二阶的矩阵那样简洁表示。

中值公式

将多元函数展到一阶导数的形式，就是多元函数的中值公式，是 Lagrange 中值定理的推广。

以二元函数为例，设函数$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处有一阶连续偏导数，那么存在$0<\theta<1$使得

$$\begin{align} f(x, y) - f(x_0, y_0) & = (x - x_0) f_x (x_0 + \theta(x - x_0), y_0 + \theta(y - y_0)) \\ & + (y - y_0) f_y (x_0 + \theta(x - x_0), y_0 + \theta(y - y_0)). \end{align}$$

一般多元解析函数

借助多重指标，我们可以研究一般多元函数的展开。我们称一个多元函数$f(x)$在其定义域内一点$x_0$处是解析的，是指该函数在这一点处有 Taylor 级数展开，如果它的部分项展开为

$$f(x) = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{|\alpha|=k} \dfrac{D^\alpha f(x_0)}{\alpha!} (x-x_0)^\alpha + R_N(x).$$

那么$f(x)$在点$x_0$处解析当且仅当下面有限项 Taylor 公式展开的余项关于$N$构成的序列收敛

$$\begin{align} R_N(x) & = f(x) - \sum_{k=0}^{N-1}\sum_{|\alpha|=k} \dfrac{D^\alpha f(x_0)}{\alpha!} (x - x_0)^\alpha \\ & = \sum_{|\alpha| = N} \dfrac{D^\alpha f(x_0 + \lambda(x - x_0))}{\alpha!} (x - x_0)^\alpha. \end{align}$$

其中$\lambda \in [0, 1]$且依赖于$x, x_0.$

在$x_0$处解析的多元函数$f(x)$的 Taylor 级数可以简写为

$$\sum_{\alpha} \dfrac{D^\alpha f(x_0)}{\alpha!} (x-x_0)^\alpha.$$

上述求和对所有可能的重指标进行。

上下节

• 上一节：方向导数
• 下一节：多元函数的极值

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
2. 崔尚斌, 《数学分析教程（下）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6807-2.