多元函数的连续性

连续的多元函数是数学分析多元微积分研究的重点，在多元微积分中，几乎不研究处处不连续或不可导的“病态”函数（这是和实际应用相关的）。

定义

设多元函数$f(M)$在点$M_0$处有定义且该处函数值和极限值相等，就称函数$f(M)$在$M_0$处连续，用$\varepsilon-\delta$语言叙述是：
设多元函数$f(M)$在点$M_0$处有定义，如果$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，当$0 < \rho(M_0, M) < \delta$时有$|f(M) - f(M_0)| < \varepsilon$，我们就说$f(M)$在$M_0$处连续。

连续代表着取极限符号可以和函数运算符号交换次序，即

$$\lim_{M \to M_0} f(M) = f(M_0).$$

函数在一点连续是这个函数的局部性质。若函数$f(M)$在点集$E$中的每一点都连续，则$f(M)$连续于点集$E$，注意取极限的路径只能沿着$E$来取。

性质

连续函数经过有限次四则运算之后仍然是连续的（除法时要求分母非零），这和一元函数的情形类似。同样也有局部有界性、局部保号性，闭域上的连续函数是一致连续的，最值定理、介值定理、零点定理都可以推广。

局部有界性

连续于点$M_0$的函数$f(M)$在某个$U(M_0)$上有界。

局部保号性

连续于点$M_0$的函数$f(M)$满足$f(M_0) > 0$，则$\forall a \in (0, f(M_0)), \exists U(M_0)$使得$\forall M \in U(M_0)$有$f(M) > a.$

最值定理

连续于闭域$I$上的函数$f(M)$在该区间上有最大值和最小值，进而在该区间上有界。

零点定理

连续于区域$D$上的函数$f(M)$，如果$\exists M_1, M_2 \in D, f(M_1)f(M_2) < 0$，则必对于任意连接$M_1, M_2$的曲线$l \in D$都有$\exists N \in l, f(N) = 0.$

依坐标连续

以二元函数为例，函数$f(x, y)$在$(x_0, y_0)$处连续可以推出$f(x, y_0)$在$x = x_0$以及$f(x_0, y)$在$y=y_0$处都是连续的，后者则称为$f(x, y)$依坐标$x, y$连续。我们知道，反之不真，由各坐标连续推不出函数在$(x_0, y_0)$处连续，这是因为

$$| f(x, y) - f(x_0, y_0) | \leqslant | f(x, y) - f(x, y_0) | + | f(x, y_0) - f(x_0, y_0) |$$

对于后者，它是一个一元实函数，我们很容易找出一个仅和$\varepsilon$有关的$\delta_2$，使得$| f(x, y_0) - f(x_0, y_0) | < \dfrac{1}{2}\varepsilon$，但是对于第一个式子情况复杂一些，由于$x$依旧是变化的，这样找到的$\delta_1$不仅依赖于$\varepsilon$还依赖于$x$，更不幸的是$x \to x_0$时，$\delta_1 \to 0$，这样$\delta = \min\{ \delta_1, \delta_2 \}$没有意义，进而推不出连续性。

为了使得$\delta_1$在受$x$影响的同时还能有正的下界，我们需要另外添加条件，这样就得到了如下连续和依坐标连续的充要条件：
二元实函数$f(x, y)$连续于$(x_0, y_0)$的充要条件是$f(x, y_0)$在$x = x_0$处连续且$f(x, y)$在$y=y_0$点的连续性关于$x = x_0$是局部一致的。

上述条件中$x$和$y$的地位可以互换。另外$f(x, y)$在$y=y_0$点的连续性关于$x = x_0$是局部一致的这一条件很容易达到，以下是几个例子：

1. $f(x, y)$关于$y$是 Lipschitz 连续（或 Hölder 连续）的；
2. 偏导数$\dfrac{\partial f}{\partial y}$关于$x$是局部一致有界的；
3. $f(x, y_0)$关于$x$是单调的。

对于三元函数的情形，由于

$$\begin{align} | f(x, y, z) - f(x_0, y_0, z_0) | & \leqslant | f(x, y, z) - f(x, y, z_0) | + | f(x, y, z_0) - f(x, y_0, z_0) | \\ & + | f(x, y_0, z_0) - f(x_0, y_0, z_0) | \end{align}$$

因此可得三元实函数$f(x,y,z)$连续于$(x_0, y_0, z_0)$的充要条件是

1. $f(x, y_0, z_0)$在$x = x_0$处连续；
2. $f(x, y, z_0)$在$y=y_0$点的连续性关于$x = x_0$是局部一致的；
3. $f(x,y,z)$在$z = z_0$点的连续性关于$x = x_0, y = y_0$是局部一致的。

上述也可理解为考察函数$f(g_1(y, z), x)$，$f(g_2(x, z), y)$以及$f(g_3(x, y), z)$的连续性。

上下节

• 上一节：多元函数
• 下一节：偏导数

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.