多元函数的极值

在一元微分学中，一个多元函数的极值是经常研究的重要问题，它是反映一个函数局部特征的重要依据。对多元函数极值的研究，多是通过偏导数进行的。

定义

设有多元函数$f(M)$，如果在某一点$M_0$的某个邻域$U(M_0)$内恒有$f(M) \geqslant f(M_0)$，我们就称$M_0$是这个函数的一个极小值点，$f(M_0)$称为这个函数的一个极小值；如果在某一点$M_0$的某个邻域$U(M_0)$内恒有$f(M) \leqslant f(M_0)$，我们就称$M_0$是这个函数的一个极大值点，$f(M_0)$称为这个函数的一个极大值，极小值点和极大值点统称为函数的极值点，极小值和极大值统称为函数的极值。

对于一个一阶可微的函数而言，如果一个点是极值点，那么在这一点处的各变元的一阶偏导数都是零，即这一点的梯度$\nabla f(M_0) = 0$。定义域中所有使$\nabla f(M_0) = 0$的点$M_0$称为该函数的驻点。

判别方法

由多元函数的 Taylor 公式（展开到二阶导的形式）

$$f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{x_0}) + (\nabla f(\boldsymbol{x_0}))^\text{T} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x_0}) + \dfrac{1}{2!} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x_0})^\text{T} \boldsymbol{H(x_0)} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x_0}) + o(|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{x_0}|^2).$$

其中，二阶导数的矩阵是

$$\boldsymbol{H(x_0)} = \left( \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_i \partial x_j} \right)_{n \times n} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_2 \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_2^2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_n \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_n^2} \\ \end{pmatrix}.$$

如果函数存在连续的二阶偏微分，那么上述矩阵就是实对称矩阵，一定有$n$个实特征根。

在驻点处$\nabla f(\boldsymbol{x_0}) = 0$，因此上述二次项部分成为主部。有如下判定条件：

1. 若二阶导数的矩阵$\boldsymbol{H(x_0)}$是正定的，那么$\boldsymbol{x_0}$是极小值点；
2. 若二阶导数的矩阵$\boldsymbol{H(x_0)}$是负定的，那么$\boldsymbol{x_0}$是极大值点；
3. 若二阶导数的矩阵$\boldsymbol{H(x_0)}$是不定的，那么$\boldsymbol{x_0}$不是极值点；
4. 若二阶导数的矩阵$\boldsymbol{H(x_0)}$是半正定或半负定的，那么$\boldsymbol{x_0}$处还需要进一步判断（展到三阶导数继续判断三阶导数的张量的正负定情况）。

最值

一般来说，一个$d$元函数的最值点就在所有的极值点以及边界点中取到，而至于这个函数定义域的边界则是$d-1$维的，故是一个$d-1$元函数的最值问题。对于$d$元函数来说，总可以这样不断降维分析维数更少的函数的最值问题。

而在某些实际问题中，可以结合实际情况分析最值的情形。

上下节

• 上一节：多元函数的 Taylor 公式
• 下一节：多元函数的条件极值

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.