多元函数的条件极值

一个函数的条件极值是指在某种约束下某个特定函数的极值问题，它在数学的许多领域应用广泛，很多不等式也是由条件极值推出的。

概念

设有多元函数$f(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x} \in \R^d$，另有关于该函数变量的限制条件$\boldsymbol{g(x)} = \boldsymbol{0}$，在这里限制条件是以向量形式给出的，该向量函数表示

$$\boldsymbol{g(x)} = \begin{pmatrix} g_1(\boldsymbol{x}) \\ g_2(\boldsymbol{x}) \\ \vdots \\ g_s(\boldsymbol{x}) \end{pmatrix}.$$

如果有一点$\boldsymbol{x_0}$，满足$\boldsymbol{g(x_0)} = \boldsymbol{0}$且

$$f(\boldsymbol{x}) \leqslant f(\boldsymbol{x_0}), \quad \exists \delta > 0, \forall \boldsymbol{x} \in U(\boldsymbol{x_0}, \delta) \cup \{ \boldsymbol{x} : \boldsymbol{g(x)} = \boldsymbol{0} \}$$

我们就称点$\boldsymbol{x_0}$是在条件（或叫做限制）$\boldsymbol{g(x)} = \boldsymbol{0}$限制下的条件极大值点（或约束极大值点），函数值$f(\boldsymbol{x})$称作条件极大值或约束极大值。

类似我们可以定义条件极小值，条件极大值和条件极小值统称为条件极值。

对于限制条件我们只考察了取等号的情形，实际上，取到大于（或小于）号的限制条件就是普通的极值问题，而取到大于等于（或小于等于）号的限制条件可以分为两部分：等号部分（条件极值问题）以及大于（小于）号的部分（普通极值）。另外，普通极值也可认为是一种“没有条件”（或有恒正条件）的条件极值。

Lagrange 乘数法

求条件极值的问题可以使用 Lagrange 乘数法解决，它是说，函数$f(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{x} \in \R^d$在限制$\boldsymbol{g(x)} = \boldsymbol{0}$下的条件极值可以归结为求函数

$$L(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\lambda}) = f(\boldsymbol{x}) + \boldsymbol{\lambda} \cdot \boldsymbol{g_0 (x)}, \forall (\boldsymbol{x, \lambda}) \in \R^{d+s}$$

其中，$s$是限制条件$\boldsymbol{g(x)} = \boldsymbol{0}$的维数，即条件$\boldsymbol{g(x)} = \boldsymbol{0}$的极大线性无关组的个数，$\boldsymbol{g_0(x)}$是$\boldsymbol{g(x)}$的一个极大线性无关组（这里涉及到函数相关性的内容，通俗地讲，限制条件之间“不能互推”，也不能“导出矛盾”，前者会使过程复杂化，后者会导致条件限制下函数定义域为空集）。

这里定义的 Lagrange 函数$L(\boldsymbol{x, \lambda})$是一个$d+s$元函数，定义域是$\R^{d+s}$，向量$\boldsymbol{\lambda} \in \R^s$，且定义中$\boldsymbol{\lambda} \cdot \boldsymbol{g_0 (x)}$是向量的点乘（特别地，当限制条件只有一个时，这就是普通的数之间的乘法）。

该方法是说原函数的条件极值$f(\boldsymbol{x})$就是函数$L(\boldsymbol{x, \lambda})$的极值，该方法实际上是给我们提供了这样的思路，求解低维空间中函数的条件极值，可以归结为求更高维函数的极值，这实际上是一个微分流形问题。

上下节

• 上一节：多元函数的极值
• 下一节：隐函数

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.