多元函数

在数学分析中，多元微积分是除一元微积分之外的又一个重要研究对象，其中多元函数的极限概念是其基础。

多元函数

设$f$是一个从有限维$d$维 Euclid 空间的子集$S$到$\R$上的一个映射，如果这个映射是单射，我们就称$f$是一个$d$元函数，它将$S$中的点$M$映成一个实数，我们记作$f(M)$。

如果选定了一个标架，$S$中的点可表示为$(x_1, x_2, \cdots, x_d)$，那么还有如下记号

$$\begin{align} f: S & \to \R \\ (x_1, x_2, \cdots, x_d) & \mapsto u = f(x_1, x_2, \cdots, x_d) \end{align}$$

我们称$S$是$f$的定义域，也用$D(f)$表示，$f(S) := \{ f(M), M \in S \}$是$f$的值域。

有限维 Euclid 空间中，一个点不仅和有序实数对一一对应，还和以原点为起点的实向量一一对应，因此$d$元函数的定义域还可以是$d$维向量组成的集合，这样用向量代表有序数对会对某些情况带来写法上的便利。

函数图像

对于一个$d$元实函数，我们可以借助$d+1$维空间来显示它的函数图像：先选择一个$d$维空间来刻画它的定义域，然后再第$d+1$维的方向上做投影，再将所有的点连成一个$d$维平面，这个平面就是函数图像。

特别地，一个二元实函数可以将平面$Oxy$作为定义域平面，选择三维空间中点$(x, y, z = f(x, y))$作为点$(x, y) \in D(f)$对应的函数图像上的点，再将所有点都这样表示出来连成一个平面。这样的特点是：每个与$z$轴平行的直线交函数图像都最多只有一个交点，函数图像与在$Oxy$平面上的投影所代表的区域就是定义域区域。

多元函数的极限

设有多元函数$f(M)$，点$M_0 \in S'$（$M_0$是$f$的定义域的聚点），如果$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，当$0 < \rho(M_0, M) < \delta$时有$|f(M) - A| < \varepsilon$，我们就说$f(M)$在$M_0$处存在极限，且极限是$A$，记作

$$\lim_{M \to M_0} f(M) = A \quad \text{or} \quad f(M) \to A, ~~(M \to M_0)$$

如果一个函数存在极限，那么它的极限是唯一的，且在这一点处，多个存在极限的函数的四则运算（除法时要求除数不为零）就是对应极限的四则运算，这些都是和一元函数的极限是类似的。

当然也有像一元函数那样的 Heine 定理：$f(M)$在$M_0$点的极限存在当且仅当对任何在$U^\circ(M_0) \cap D(f)$内以$M_0$为极限的无穷点列$\{ M_n \}_{n=1}^\infty$，$\lim_{n \to \infty} f(M_n)$存在且相等。因此和一元实函数情况不同的是，必须要在定义域中的四面八方的路径趋近$M_0$时极限都存在且相等，才可说明在这一点处函数极限存在，只要有两个方向函数极限存在但不相等或有某个方向极限不存在，就说明原函数在这一点处极限不存在。

在多元函数中，待定型也是存在的，但往往大多数情况下待定型很难求得极限（这是因为不像一元实函数中有很多求待定型极限的方法），且多数极限不存在，最主要的一个原因是在待定型这一点处，往往函数取值不是唯一的（沿着不同的路径有不同的取值），这表现在函数图像上就是这一点处和平行于轴$x_{d+1}$的直线往往有很多交点。

多元函数的连续性

设多元函数$f(M)$在点$M_0$处有定义且该处函数值和极限值相等，就称函数$f(M)$在$M_0$处连续，即

$$f(M_0) = \lim_{M \to M_0} f(M)$$

复合函数、四则运算对连续是封闭的，这和一元函数的情形类似。同样也有局部有界性、局部保号性，闭域上的连续函数是一致连续的，最值定理，介值定理，零点定理都可以推广。

累次极限

上述极限定义的实际上是$d$重极限：即在各个方向上同时取极限，各变量没有优先关系同时趋近目标点。有时我们需要研究累次极限，即各变量有顺序地趋近目标点。以二元函数为例，不难将他推广到$d$元函数中去。

称以下两种极限为函数$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处的二次极限：

$$\lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y), \qquad \lim_{x \to x_0} \lim_{y \to y_0} f(x, y)$$

以第一个式子为例，它的意义是先固定$y$，考察一元实函数$f(x, y^*)$在$x = x_0$处的极限，然后将得到的一元实函数$f(x_0, y)$对$y=y_0$取极限。

这种极限实际上只考虑了几个方向上的情况，其余路径并没有考虑，两个二次极限存在且相等自然未必代表二重极限存在，反过来，二重极限存在也不意味着二次极限存在。但若二重极限和二次极限都存在，那么它们必定相等。

上下节

• 上一节：Euclid 空间中的基本定理
• 下一节：多元函数的连续性

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.