多值函數

多值函數是對於一個確定的自變量值，有不止一個函數值與之對應，在複變函數中這種函數十分常見，它們多是由輻角函數的多值性引起的。

概念

設有複變函數$w = f(z)$，如果在某個區域$D$上$f(z)$存在多個值，我們就說這個複變函數是一個多值函數。$f(z)$應當理解為一個數集，它收集了所有$z$的像，在作運算的時候將集合中的元素取出後運算，例如$2f(z)$就理解為從兩個集合$f(z)$中各取出一個，並把它們相加的結果收集為一個新的集合$2f(z)$。

常見的多值函數有

1. 輻角函數：$\operatorname{Arg} z, \ne 0$，如果給定一個$z$的特定輻角值（例如，輻角主值）$\arg z$，那麼$\operatorname{Arg} z = \arg z + 2k\pi, k \in \Z.$這個結果有可列個。
2. 複對數函數：$\operatorname{Ln} z = \ln |z| + \text{i} \operatorname{Arg} z, z \ne 0$，顯然它的多值性是由輻角的多值性造成的。
3. 復根式函數：$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \text{e}^{\text{i}\frac{\operatorname{Arg z}}{n}}, z \ne 0$，它是$n$多值的函數。
4. 復反三角函數：由複對數函數和復根式函數複合而來，是可列個多值的。
5. 一般冪函數和一般指數函數：由推廣的換底公式$z^w = \text{e}^{w \operatorname{Ln} z}$定義，是指數函數和對數函數的複合函數。

上述多值函數都是基本初等的。

多值函數一般不連續，自然不解析，因此我們可以設想將它們分為多個單值函數，這些單值函數如果在它們有意義的區域內是解析的，那麼這樣的多值函數也具有很好的性質。

支點和支割線

設定義在數集$D$上的多值複變函數$w = f(z)$，閉域$\overline{E}$內有一點$z_0$，使得當變量$z$繞$z_0$的充分小鄰域內任意一條簡單閉曲線連續轉動一周回到初值時有$\Delta_L f(z) \ne 0$（即終值的函數值與初值的函數值不同）就稱這一點$z_0$為函數$f(z)$的支點，連接支點的曲線稱為支割線。對於某個支點$z_0$，如果當變量$z$繞$z_0$的充分小鄰域內任意一條簡單閉曲線連續轉動$n$周回到初值時有$\Delta_L f(z) = 0$，而連續轉動$k~( k < n)$周回到初值時$\Delta_L f(z) \ne 0$，我們就稱這個支點為$n$階支點。

例如，輻角函數和複對數函數的支點為$0, \infty$，根式函數$\sqrt[n]{z}$的支點$0, \infty$是$n$階支點。

對於多項式函數和根式函數的複合函數$f(z) = \left[ \prod_{k=1}^m (z - z_k)^{r_k} \right]^\frac{1}{n}$，它的所有可能支點是$z_1, z_2 \cdots, z_m, \infty$，注意到 $$\left[ \prod_{k=1}^m (z - z_k)^{r_k} \right]^\frac{1}{n} = \left| \prod_{k=1}^m (z - z_k)^{r_k} \right|^\frac{1}{n} \exp \left[ \dfrac{\text{i}}{n} \sum_{k=1}^m \operatorname{Arg} (z - z_k) \right]$$ 如果

1. $z_k$是該函數的支點當且僅當$n \nmid a_k$；
2. $\infty$是該函數的支點當且僅當$n \nmid \sum_{k=1}^m a_k$。

設有一區域$G$，對於區域$G$中任意的簡單閉曲線，曲線內部要麼不包含支點，要麼包含的支點有$z_{j_1}, z_{j_2}, \cdots, z_{j_m}$，它們對應的$r_{j_1} + r_{j_2} + \cdots + r_{j_m}$是$n$的倍數，那麼在這個區域中多值函數$f(z)$是單值解析的。

找出支點後便可以做支割線，支割線是一系列曲線（一般選擇直線，便於研究），這些直線可以不止一條，但它們的起點和終點都是支點，對於無窮遠點是支點的情形，要求其中一條支割線延伸到無窮（無界直線），這樣，多值函數在去掉支割線的平面$G$上是單值的。注意支割線一般不要穿過我們所關心的點，否則需要按照割線的兩岸分別定義並討論該點處的函數值。

分出單值解析分支

對於一個多值解析函數，我們割破平面後得到單值解析的區域$G$，在這個區域上當$z$沿着任意一條簡單閉曲線連續轉動一周回到初始點時對應的函數值不變，由於我們研究的多值解析函數都是由輻角的多值性引起的，因此在這個區域上如果我們已知某個點$z_0$的值$f(z_0)$，來求另一個同樣在該區域內的點$z \in G$的函數值$f(z)$，我們可以做一條從$z_0$出發，終止於$z$的簡單曲線$L$，該曲線不經過割線，它的做法有多種，且不限制繞原點的圈數，亦不限制方向。

在初始點的函數值未知或未給定初始點（例如，給的是某條割線的某一岸的函數取值情況）時，我們要柑橘一直找到函數值（或確定在某一岸函數的取值，在該處的取值僅需取一個符合條件的即可，此時的$L$應從割線的某岸開始）。

確定初值之後，$f(z)$可以由輻角改變量$\Delta_C \arg (f(z) - f(z_0))$唯一確定，考慮到多值解析函數是連續函數，所做的簡單曲線也是連續曲線，因此，自變量在該曲線上連續從起始點運動到終點時輻角改變量在該曲線上也是連續變化的，有 $$f(z) = |f(z)| \text{e}^{\text{i} \arg f(z)} = |f(z)| \text{e}^{\text{i} \Delta_C \arg (f(z) - f(z_0))} \text{e}^{\text{i}\arg f(z_0)}.$$ 一般多值解析函數有控制函數值的某個整數變量$k$（例如，輻角函數$\operatorname{Arg} z = \arg z + 2k\pi$），它的取值直接影響了輻角改變量的大小，在區域$G$上，這個$k$是可以被唯一確定的。這樣，我們就得到了終點函數值。

上下節

• 上一節：復反三角函數
• 下一節：複變函數的積分

參考資料

1. 鍾玉泉, 《複變函數論（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.