多值函数

多值函数是对于一个确定的自变量值，有不止一个函数值与之对应，在复变函数中这种函数十分常见，它们多是由辐角函数的多值性引起的。

概念

设有复变函数$w = f(z)$，如果在某个区域$D$上$f(z)$存在多个值，我们就说这个复变函数是一个多值函数。$f(z)$应当理解为一个数集，它收集了所有$z$的像，在作运算的时候将集合中的元素取出后运算，例如$2f(z)$就理解为从两个集合$f(z)$中各取出一个，并把它们相加的结果收集为一个新的集合$2f(z)$。

常见的多值函数有

1. 辐角函数：$\operatorname{Arg} z, \ne 0$，如果给定一个$z$的特定辐角值（例如，辐角主值）$\arg z$，那么$\operatorname{Arg} z = \arg z + 2k\pi, k \in \Z.$这个结果有可列个。
2. 复对数函数：$\operatorname{Ln} z = \ln |z| + \text{i} \operatorname{Arg} z, z \ne 0$，显然它的多值性是由辐角的多值性造成的。
3. 复根式函数：$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \text{e}^{\text{i}\frac{\operatorname{Arg z}}{n}}, z \ne 0$，它是$n$多值的函数。
4. 复反三角函数：由复对数函数和复根式函数复合而来，是可列个多值的。
5. 一般幂函数和一般指数函数：由推广的换底公式$z^w = \text{e}^{w \operatorname{Ln} z}$定义，是指数函数和对数函数的复合函数。

上述多值函数都是基本初等的。

多值函数一般不连续，自然不解析，因此我们可以设想将它们分为多个单值函数，这些单值函数如果在它们有意义的区域内是解析的，那么这样的多值函数也具有很好的性质。

支点和支割线

设定义在数集$D$上的多值复变函数$w = f(z)$，闭域$\overline{E}$内有一点$z_0$，使得当变量$z$绕$z_0$的充分小邻域内任意一条简单闭曲线连续转动一周回到初值时有$\Delta_L f(z) \ne 0$（即终值的函数值与初值的函数值不同）就称这一点$z_0$为函数$f(z)$的支点，连接支点的曲线称为支割线。对于某个支点$z_0$，如果当变量$z$绕$z_0$的充分小邻域内任意一条简单闭曲线连续转动$n$周回到初值时有$\Delta_L f(z) = 0$，而连续转动$k~( k < n)$周回到初值时$\Delta_L f(z) \ne 0$，我们就称这个支点为$n$阶支点。

例如，辐角函数和复对数函数的支点为$0, \infty$，根式函数$\sqrt[n]{z}$的支点$0, \infty$是$n$阶支点。

对于多项式函数和根式函数的复合函数$f(z) = \left[ \prod_{k=1}^m (z - z_k)^{r_k} \right]^\frac{1}{n}$，它的所有可能支点是$z_1, z_2 \cdots, z_m, \infty$，注意到 $$\left[ \prod_{k=1}^m (z - z_k)^{r_k} \right]^\frac{1}{n} = \left| \prod_{k=1}^m (z - z_k)^{r_k} \right|^\frac{1}{n} \exp \left[ \dfrac{\text{i}}{n} \sum_{k=1}^m \operatorname{Arg} (z - z_k) \right]$$ 如果

1. $z_k$是该函数的支点当且仅当$n \nmid a_k$；
2. $\infty$是该函数的支点当且仅当$n \nmid \sum_{k=1}^m a_k$。

设有一区域$G$，对于区域$G$中任意的简单闭曲线，曲线内部要么不包含支点，要么包含的支点有$z_{j_1}, z_{j_2}, \cdots, z_{j_m}$，它们对应的$r_{j_1} + r_{j_2} + \cdots + r_{j_m}$是$n$的倍数，那么在这个区域中多值函数$f(z)$是单值解析的。

找出支点后便可以做支割线，支割线是一系列曲线（一般选择直线，便于研究），这些直线可以不止一条，但它们的起点和终点都是支点，对于无穷远点是支点的情形，要求其中一条支割线延伸到无穷（无界直线），这样，多值函数在去掉支割线的平面$G$上是单值的。注意支割线一般不要穿过我们所关心的点，否则需要按照割线的两岸分别定义并讨论该点处的函数值。

分出单值解析分支

对于一个多值解析函数，我们割破平面后得到单值解析的区域$G$，在这个区域上当$z$沿着任意一条简单闭曲线连续转动一周回到初始点时对应的函数值不变，由于我们研究的多值解析函数都是由辐角的多值性引起的，因此在这个区域上如果我们已知某个点$z_0$的值$f(z_0)$，来求另一个同样在该区域内的点$z \in G$的函数值$f(z)$，我们可以做一条从$z_0$出发，终止于$z$的简单曲线$L$，该曲线不经过割线，它的做法有多种，且不限制绕原点的圈数，亦不限制方向。

在初始点的函数值未知或未给定初始点（例如，给的是某条割线的某一岸的函数取值情况）时，我们要柑橘一直找到函数值（或确定在某一岸函数的取值，在该处的取值仅需取一个符合条件的即可，此时的$L$应从割线的某岸开始）。

确定初值之后，$f(z)$可以由辐角改变量$\Delta_C \arg (f(z) - f(z_0))$唯一确定，考虑到多值解析函数是连续函数，所做的简单曲线也是连续曲线，因此，自变量在该曲线上连续从起始点运动到终点时辐角改变量在该曲线上也是连续变化的，有 $$f(z) = |f(z)| \text{e}^{\text{i} \arg f(z)} = |f(z)| \text{e}^{\text{i} \Delta_C \arg (f(z) - f(z_0))} \text{e}^{\text{i}\arg f(z_0)}.$$ 一般多值解析函数有控制函数值的某个整数变量$k$（例如，辐角函数$\operatorname{Arg} z = \arg z + 2k\pi$），它的取值直接影响了辐角改变量的大小，在区域$G$上，这个$k$是可以被唯一确定的。这样，我们就得到了终点函数值。

上下节

• 上一节：复反三角函数
• 下一节：复变函数的积分

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.