外积

这是一个消歧义页，外积可能指：

1. 二维或三维向量的向量积，详见向量的外积。
2. 一般$n$维 Euclid 空间推广的向量外积，详见向量积，它是$(\R^n)^{n-1} \to \R^n$的反对称$n-1$线性映射。
3. 分析里定义的外积，更像是高维空间的混合积，详见本页面。

反对称线性空间

关于$\R^m$上的反对称$n$线性函数的相关知识详见重线性函数，用$\boldsymbol{e}_i$表示$\R^m$中第$i$个坐标为$1$而其余坐标为零的单位标准向量。从$\{ 1, 2, \cdots, n \}$有放回的抽取$n$个元素$i_1, i_2, \cdots, i_n$，现规定 $$\gamma_{i_1 i_2 \cdots i_n}(\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \cdots, \boldsymbol{v_n}) := \det(\boldsymbol{v_j} \cdot \boldsymbol{e}_{i_k})_{j \times k}.$$ 这里$(\boldsymbol{v_j} \cdot \boldsymbol{e}_{i_k})_{j \times k}$表示第$j$行第$k$列元素为$\boldsymbol{v_j} \cdot \boldsymbol{e}_{i_k}$的矩阵。显然$\gamma_{i_1 i_2 \cdots i_n}$是反对称的重线性函数。当$i_1 i_2 \cdots i_n$中有两个相等时其值为零。

在几何上，$\gamma_{i_1 i_2 \cdots i_n}$表示由$\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \cdots, \boldsymbol{v_n}$张成的平行$2n$面体的$n$维有向体积。

基底

现在我们考察$M_m^n$的基底，$i_1, i_2, \cdots, i_n$取遍所有满足$1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_n \leqslant m$的情况时，得到的$\gamma_{i_1 i_2 \cdots i_n}$是$M_m^n$的一组基底，特别地$n > m$时$\dim M_m^n = 0$而$0 < n \leqslant m$时$\dim M_{m}^{n}={\binom {m}{n}}.$

因此$M_m^n$中的一个函数$f$总可以表示为如下线性组合（存在$\lambda_{i_1i_2\cdots i_k}$） $$f = \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_n \leqslant m} \lambda_{i_1i_2\cdots i_k} \gamma_{i_1i_2\cdots i_k}.$$

外积

$\forall \alpha \in M_m^k, \beta \in M_m^l, 0 < k, l \leqslant m$，设 $$\begin{align} \alpha & = \sum_{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant m} \lambda_{i_1i_2\cdots i_k} \gamma_{i_1i_2\cdots i_k}, \\ \beta & = \sum_{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_l \leqslant m} \mu_{j_1j_2\cdots j_l} \gamma_{j_1j_2\cdots j_l}. \end{align}$$ 定义外积运算 $$\alpha \land \beta = \sum_{\overset{1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leqslant m}{\overset{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_l \leqslant m}{}}} \lambda_{j_1j_2\cdots j_l} \mu_{j_1j_2\cdots j_k} \gamma_{i_1 i_2 \cdots i_k j_1 j_2 \cdots j_l} \in M_m^{k+l}.$$ 上述定义的运算$\land: M_m^k \times M_m^l \to M_m^{k+l}$是外积，该运算满足：

1. （结合律）$(\alpha \land \beta) \land \delta = \alpha \land (\beta \land \delta).$
2. （广义交换律）$(\alpha \land \beta) = (-1)^{kl} \beta \land \alpha, \forall \alpha \in M_m^k, \beta \in M_m^l.$
3. （线性性）$\alpha \land (a \beta_1 + b \beta_2) = a \alpha \land \beta_1 + b \alpha \land \beta_2, \forall a, b \in \R, \alpha \in M_m^k, \beta_1, \beta_2 \in M_m^l.$

此处定义的外积并不是向量的向量积（三维空间中的向量外积是$m=3,n=2$即两个$M_{3}^{1}$中的元素做外积的情形，这时有同构$M_{3}^{2}\cong \mathbb {R} ^{3}$）。

当$\lambda _{i}\in M_{m}^{1}$时$\bigwedge _{i=1}^{m}\alpha _{i}$再加上$\bigwedge _{i=1}^{m}\gamma _{i}=1$后就是我们通常定义的混合积，等价于右手系下单位正交基底下的行列式。