外测度

在测度论中，外测度是用来定义抽象空间上测度的工具，常常用在测度扩张里。

定义

假设有空间（即非空集合）$X$的幂集作为集合系$\mathcal{E} = 2^X$上定义的一个集函数（函数值可以取无穷）$\tau$满足：

1. 规范性：$\tau(\varnothing) = 0.$
2. 单调性：$\forall A \subset B \in E, \tau(A) \leqslant \tau(B).$
3. 次可列可加性：$\forall \{ A_n \}_{n=1}^\infty \subset \mathcal{E}, \tau\left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \leqslant \sum_{n=1}^\infty \tau(A_n).$

我们就称$\tau$是$X$上的外测度。这就是外测度的公理化定义。

由前两条性质不难得出外测度还是次有限可加的非负集函数。测度一定是外测度。

生成

外测度的条件并不苛刻，下面的定理表明给定集合系上合适的集函数就会诱导出一个外测度。

假设$\mathcal{E}$是包含空集的集合系，其上有一个满足$\mu(\varnothing) = 0$的非负集函数$\mu$，那么对任意的$A \in \mathcal{E}$，定义如下函数 $$\tau(A) = \inf \left\{ \sum_{n=1}^\infty \mu(B_n): \{ B_n \} \subset \mathcal{E}, A \subset \bigcup_{n=1}^\infty B_n \right\}$$ 是$\mathcal{E}$上的外测度。

这个定理也是 Lebesgue 外测度的构造方式。

Caratheodory 定理

外测度未必是测度，但是我们可以将$\mathcal{E}$上的外测度限制在$\mathcal{E}$的一个子集上，考虑之后的函数是否为$X$上的测度，这件事情是可以办到的。

假设$\tau$是$X$上的一个外测度，我们称满足如下条件 $$\tau(D) = \tau(D \cap A) + \tau(D \cap \overline{A}), \forall D \in \mathcal{E}$$ 的$X$的子集$A$称为$\tau$可测集，$D$称为测试集。全体$\tau$可测集组成的集合系记作$\mathcal{E}_\tau$，进而定义完全测度空间：

假设有测度空间$(X, \mathcal{E}, \mu)$满足：$\mu$的任意零测集的子集依然是$\mathcal{E}$中的元素，我们就称$(X, \mathcal{E}, \mu)$是完全的。

Caratheodory 定理指出：假设$\tau$是$X$上的外测度，$\mathcal{E}_\tau$是σ-代数，那么$(X, \mathcal{E}_\tau, \tau)$是完全测度空间。

测度扩张

参见测度扩张。

参考资料

1. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.