复球面

复球面是复变函数论中对复平面概念的扩展，是通过某种方式将无穷远点加入到复数中形成的一个复数集合。

复球面

借用球极投影将复平面与一个三维球面建立起对应关系。

给定一个复平面，以过原点且与平面垂直的有限定长线段为直径做出一个球面，球面的最高点为北极点$N$，用直线段将$N$与复平面上一点$z$连接起来，那么这条线段$l$与球面的交点记作$F(z)$，这样就建立了平面与球面（除去$N$）的一个一一对应$F$。

当$F(z) \to N$时，线段$l$与复平面的交点距原点越来越远，$N$在平面上对应的点可以与一个假想的模为无穷大的点相对应，我们就称这个点为无穷远点，记作$\infty$，把集合$\mathbb{C} \cup \{\infty\}$也记作$\C_\infty$，称作扩充复数域，或广义复数域。添加无穷远点的复平面称为扩充复平面。

无穷远点的性质

需要指出的是，无穷远并不一定指的是一个数，而是一个极限过程，这是和实数中一样。我们约定：

1. $\operatorname{Re} \infty, \operatorname{Im} \infty, \arg \infty$无意义，$|\infty| = + \infty;$
2. 若$z \ne \infty$，$\dfrac{\infty}{z} = \infty, \dfrac{z}{\infty} = 0, \infty \pm z = z \pm \infty = \infty;$
3. 若$z \ne 0, z \in \C_\infty$，$\infty \cdot z = z \cdot \infty = \infty, \dfrac{z}{0} = \infty;$
4. 不定义$\infty \pm \infty, 0 \cdot \infty, \dfrac{0}{0}, \dfrac{\infty}{\infty}$（未定式）。

概念扩充

在扩充复平面上，有限数的邻域概念和复平面上一致，无穷远点的邻域是以原点为心某圆周的外部，即无穷远点的$\varepsilon$邻域是 $$N_\varepsilon (\infty) :=\{ z : |z| > \dfrac{1}{\varepsilon} \}.$$

在扩充复数域上，发散的点列$\{ z_n \}_{n \to \infty}$可以形式上称作“收敛到无穷的”点列，也说这个点列有广义极限$\infty$有记号 $$\lim_{n \to \infty} z_n = \infty.$$

上下节

• 上一节：欧拉公式
• 下一节：复变函数

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.