复测度

复数值测度（complex measure）是测度空间中实数值符号测度概念之推广。

定义

假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$，我们称满足如下条件的集函数（这里函数值不允许取无穷）$\nu: \mathcal{F} \to \C$为该可测空间上的复测度：

1. 规范性：$\nu(\varnothing) = 0.$
2. 可列可加性：对任意两两不交的集合列$\{ A_i \}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{F}$都有$\nu\left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty \nu(A_i).$且该复数列绝对收敛。

这就是复测度的公理化定义。有限的测度和符号测度是复测度。这里我们记 $${\begin{aligned}\nu _{r}:{\mathcal {F}}&\to \mathbb {R} ,\\E&\mapsto {\text{Re }}\nu (E),\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}\nu _{i}:{\mathcal {F}}&\to \mathbb {R} ,\\E&\mapsto {\text{Im }}\nu (E),\end{aligned}}$$ 分别称为$\nu$的实部和虚部。借助这种分解可以将实值测度的很多定义推广过来。

注意：复测度是有界测度——我们不允许任何可测集的测度取无穷（注意可列可加性的绝对收敛），这不同于符号测度，因此一个复测度的实部和虚部它们都是有限的符号测度。通常定义的正测度必须有界才是复测度。

可测函数和积分

假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$及其上的一个复测度$\nu, \mu$，它们的实部和虚部分别记做$\nu_r, \nu_i, \mu_r, \mu_i$，$E \in \mathcal{F}$，那么有如下定义：

1. 函数$f \in L^1(E, \nu)$在$E$上是可测的是指$f \in L^1(E, \nu_r) \cap L^1(E, \nu_i)$且积分定义为$$\int_E f \mathrm{d}\nu = \int_E f \mathrm{d}\nu_r + \text{i} \int_E f \mathrm{d}\nu_i.$$
2. $E$上的可积函数空间定义为$L^p(E, \nu) = L^p(E, \nu_r) \cap L^p(E, \nu_i), \forall p > 0.$
3. $\nu$和$\mu$相互奇异定义为$\nu_a \perp \mu_b, a,b = r, i.$
4. 如果$\mu$是实值测度，$\nu$对$\mu$绝对连续定义为$\nu_r, \nu_i$对$\mu$绝对连续。

Radon-Nikodym 定理

复测度有像符号测度那样的 R-N 性质。

假设$\nu$是测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$上的复测度，如果存在几乎处处意义下唯一的可测函数$f$使得 $$\nu(A) = \int_A f \mathrm{d}\mu, \quad \forall A \in \mathcal{F}.$$ 我们就称$f$是$\nu$对$\mu$的 Radon-Nikodym 导数，简称为 R-N 导数，记作$\dfrac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu} = f.$

假设$\nu$是测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$上的复测度，$\mu$是σ有限且$\nu$对$\mu$绝对连续，那么$\nu$对$\mu$的 R-N 导数就唯一存在且几乎处处有限。

因为复测度$\mu$按定义已经是是σ有限的了，所以不必再添加有限性。

Lebesgue 分解

一般的两个复测度之间不一定可以定义导数，但是它们之间依然可以存在某种关系，Lebesgue 分解指出复测度对另一个复测度可以分解为绝对连续的部分和相互奇异的部分。

可测空间$(X, \mathcal{F})$上的两个复测度$\nu, \mu$，存在两个复测度$\nu_c, \nu_s$使得

1. $\nu = \nu_c + \nu_s.$
2. $\nu_c$对$\mu$绝对连续。
3. $\nu_s$和$\mu$相互奇异。

且这种分解是唯一的。

全变差

假设可测空间$(X, \mathcal{F})$上有复测度$\nu$，$f$是$\nu$的 R-N 导数，那么我们定义$\nu$的全变差，选择适当的$(X, \mathcal{F})$上的测度$\mu$以及$f \in L^1(X, \mu)$使得 $$\nu(E) = \int_E f \mathrm{d}\mu, \quad \forall E \in \mathcal{F}.$$ 并且我们称 $$|\nu|(E) := \int_E |f| \mathrm{d}\mu.$$ 为$\nu$的全变差。这里需要说明的是：上述定义虽然用到了$\mu, f$，但是可以证明和它们的选择无关。

当$\nu$是实值测度时这个定义和借助 Hahn-Jordan 分解定义出全变差的概念等价。

等价定义

$|\nu|$还有如下的等价定义，对$\forall E \in \mathcal{F}:$

1. $|\nu|(E) = \sup \left\{ \sum_{i=1}^n |\nu(E_i)|: E = \bigcup_{i=1}^n E_i, \bigcap_{i=1}^n E_i = \varnothing, n \geqslant \N \right\}.$
2. $|\nu|(E) = \sup \left\{ \sum_{i=1}^\infty |\nu(E_i)|: E = \bigcup_{i=1}^\infty E_i, \bigcap_{i=1}^\infty E_i = \varnothing \right\}.$
3. $|\nu|(E) = \sup \left\{ \left|\int_E f \mathrm{d}\mu \right|: \| f \|_{L^1(X, \mu)} \leqslant 1 \right\}.$这里$\mu$是$(X, \mathcal{F})$上的测度，$f \in L^1(X, \mu).$

性质

假设可测空间$(X, \mathcal{F})$上有复测度$\nu, \mu$，那么

1. $\forall E \in \mathcal{F}, |\nu(E)| \leqslant |\mu|(E).$
2. $\nu$对$|\nu|$绝对连续，且 R-N 导数$\dfrac{\mathrm{d} \nu}{\mathrm{d} |\nu|}$的模在$|\nu|$可测的几乎处处意义下是1。
3. $f \in L^1(\nu)$当且仅当$f \in L^1(|\nu|)$且$$\left| \int_E f \mathrm{d}\nu \right| \leqslant \int_E |f| \mathrm{d}|\nu|, \quad \forall f \in L^1(\nu).$$
4. $|\nu + \mu| \leqslant |\nu| + |\mu|.$
5. $\nu = |\nu|$当且仅当$\nu(X) = |\nu|(X).$

参考资料

1. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.
2. Gerald B. Folland, Real Analysis(2nd Ed.), Wiley, 1999-04, ISBN 978-0-4713-1716-6.