复根式函数

在复数中，有像实数那样的乘幂以及方根的概念，进一步我们引入复根式函数。

复整数幂

设$n \in \mathbb{N}^+$，我们定义$n$个复数$z$的乘积为$z^n$，读作$z$的$n$次幂，同时约定$z^0 = 1, z \ne 0.$我们依旧不定义$0^0$。这样定义的整数幂必然是唯一的。

实际上，如果设$r = |z|, \theta = \operatorname{Arg} z, z \ne 0$，由$z = r \text{e}^{\text{i}\theta}$，可得$z^n = r^n \text{e}^{\text{i}(n\theta)}$，进而就有$|z^n| = |z|^n, \operatorname{Arg} z^n = n \operatorname{Arg} z.$这实际上就是说，将$z$的模长变为原来的$n$次幂，再将辐角变为原来的$n$倍，即可得到$z^n$。

如果我们选择复平面上的一个角形区域$\theta_1 < \arg z < \theta_2$，必然复变函数$f(z) = z^n$将其变为了另外一个角形区域$n \theta_1 < \arg f(z) < n \theta_2$，这是整数幂的几何意义，复变函数$f(z) = z^n$是一个单值解析函数，可以验证有$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} z^n = n z^{n-1}$。

复根式函数

复根式函数用整数幂函数的反函数来定义，首先我们需要引入复根式的概念。设$n \in \mathbb{N}^+$，称关于$w$的复数方程 $$w^{n}=z$$ 的全部解$w$的全体为$z$的$n$次方根，记作$\sqrt[n]{z}$，当$n=2$时也可简记作$\sqrt{z}$。

定理：方程#A1有$n$个复数解（重根按重数计算），它们分别是 $$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} ~ \text{e}^{\text{i}\frac{\operatorname{Arg} z}{n}} = \sqrt[n]{|z|} ~ \text{e}^{\text{i}\frac{\theta + 2k\pi}{n}}, k = 0,1,\cdots,n-1.$$

一个确定复数的方根可能并不唯一（在$n>1$时），但是它们的模长都是确定的，这是因为模长是正实数，由$|\sqrt[n]{z}| = \sqrt[n]{|z|}$，一个正实数有唯一确定的正实方根。而由上述定理，一个确定复数的不同$n$次方根之间只相差$\text{e}^{\text{i}\frac{k\pi}{n}}, k = 0,1,\cdots,n-1$，这个数是一个单位复数，它有时也叫做旋转乘数。例如，$z_1 = 1 + \text{i}$的三次方根在复平面上如下表示，它们都在$r = (\sqrt[3]{2})_0$上等间隔排列。

一般我们记由$k$确定的某一个具体的方根值为$(\sqrt[n]{z})_k$，而$\sqrt[n]{z}$表示这些值的总体（集合概念），当辐角取主值时，对应的根式$(\sqrt[n]{z})_0$我们称其为$\sqrt[n]{z}$的根式主值。

划分为多个单值函数

定义在点集$E$上的函数$f(z) = \sqrt[n]{z}, n \in \N^+$被称为是复根式函数，一般当$n>1$时它是多值的，且是$n$重多值。

实际上，如果我们选择复平面上的一个角形区域$\theta_1 < \arg z < \theta_2$（此处的辐角$\arg$不一定代表主值，下同），必然复变函数$f(z) = \sqrt[n]{z}$，将其变为了另外一个角形区域$\dfrac{1}{n} \theta_1 < \arg f(z) < \dfrac{1}{n} \theta_2$，这是复根式函数的几何意义，特别地，它也会把$- \pi < \arg z < \pi$变为角形区域$-\dfrac{\pi}{n} < \arg z < \dfrac{\pi}{n}$（这就是根式主值所在的区域）。如果我们也要将它变为多个单值解析函数来研究，那么就需要让区域$G: \dfrac{1}{n} \theta_1 < \arg f(z) < \dfrac{1}{n} \theta_2$的开角不超过$2\pi$，这样我们可以第一种划分方法——限制定义域的方法，即如果要使因变量曲线所在的角形区域开角不超过$2\pi$，那么自变量曲线所在的角形区域必然不能超过$2n\pi$，所以将定义域按照辐角划分：$B_k = \{ z: \theta_0 + 2k\pi < \arg z < \theta_0 + 2(k+1)\pi, k \in \Z, \theta_0 \in \R \}$，这样一个多值函数就分成了多个单值解析函数，这种方法可以窥探到根式多值性的本质——它是由自变量的辐角不唯一引起的，这种方法虽然直观容易理解，但不便于研究，因此引入下面割破平面的方法。

割破平面的方法是说，先找出根式函数的支点，是$z = 0, \infty$，按照连接这两个支点的任意一条简单曲线（特别地，我们取负实轴）割开复平面，记割开后的平面区域为$G$，在$G$中任意一条闭曲线，它对应的因变量曲线都有$n$个，且每条曲线$L_k$都位于一个角形区域$T_k$中（如图以三次方根为例，图中右侧的$w$平面去掉了$z$平面中负实轴的像，也就是虚线区域）。

因此复变函数$f(z) = \sqrt[n]{z}$可以分为$n$个单值分支函数$f_k (z) = (\sqrt[n]{z})_k, z \in G$，容易验证它们都是连续且单值解析的，且每个单值解析函数都满足 $$\dfrac{\mathbb{d}}{\mathbb{d}x} (\sqrt[n]{z})_k = \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{(\sqrt[n]{z})_k}{z}, z \in G.$$

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参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.