复数项级数

复数项级数是复变函数级数理论的基础概念，它的敛散性判断和运算规律就构成了级数理论的基本框架，是无穷级数的一种，它是每一项都是复数的无穷级数。它是数项级数在复数下的推广，很多概念都可以平行地引入。

概念

复数项级数是用加号$+$把无穷多个复数连接起来组成的表达式。给定一个复数列$\{ z_n \}$，那么下面的表达式就是一个复数项级数 $$\sum_{n=1}^\infty z_n := z_1 + z_2 + z_3 + \cdots + z_n + \cdots.$$ 而复数列$\{ z_n \}$的通项公式$z_n$就称作这个级数的一般项，复数列$\{ z_n \}$的前$n$项和$S_n$称作级数的部分和，数列$\{S_n\}$称作级数的部分和数列。

敛散性

对复数项级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$，如果部分和数列存在极限，即 $$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n z_k = S \in \mathbb{C}.$$ 我们就称级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$收敛，而把上述极限值称为级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$的和，部分和数列极限不是有限数（极限不存在）时称级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$发散。

容易知道，设$z_n = x_n + \text{i} y_n, x_n, y_n \in \R, n \in \N^+$，那么复数项级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$收敛到$x_0 + \text{i} y_0, x_0, y_0 \in \R$当且仅当实部级数$\sum_{n=1}^\infty x_n$和虚部级数$\sum_{n=1}^\infty y_n$分别收敛到$x_0$和$y_0.$

条件收敛和绝对收敛

像数项级数那样，我们也可以给复数项级数定义绝对收敛和条件收敛的概念：

如果级数$\sum_{n=1}^\infty |z_n|$收敛，则必定可以得到$\sum_{n=1}^\infty z_n$收敛，这时就称级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$是绝对收敛的；

如果级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$本身收敛但$\sum_{n=1}^\infty |z_n|$发散，我们就称级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$条件收敛。

判断一个复数项级数绝对收敛，可考虑$\sum_{n=1}^\infty |z_n|$，这是一个正项级数，可以使用正项级数收敛判别法判断它的敛散性。

性质

1. 收敛级数有线性性，如果$\sum_{n=1}^\infty z_n$收敛和$\sum_{n=1}^\infty w_n$，则它们的任意线性组合$\sum_{n=1}^\infty ( a z_n + b w_n ), \forall a, b \in \mathbb{C}$也收敛，且有$$\sum_{n=1}^\infty ( a z_n + b w_n ) = a \sum_{n=1}^\infty z_n + b \sum_{n=1}^\infty w_n$$
2. 改变级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$中有限项，不改变级数的敛散性，但收敛的值可能会变。
3. 如果级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$收敛，那么一般项$\lim_{n \to \infty} z_n = 0$，因此，如果一个级数的一般项都不趋于零，那它一定发散。
4. 对收敛级数中某些项任意添加括号，所得的新级数依然收敛，且收敛的值不变。
5. 设级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$绝对收敛于$S$，则这个级数的任意重排级数$\sum_{n=1}^\infty z_{j_n}$也绝对收敛于$S$。
6. 设级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$和$\sum_{n=1}^\infty w_n$分别绝对收敛到$\alpha$和$\beta$，那么它们各项的乘积按任意重排之后所得的新数列绝对收敛到$\alpha\beta$。

这些性质对应的数项级数可在收敛级数的运算中找到。

Cauchy 收敛准则

对于复数项级数来说，它的 Cauchy 收敛准则是：级数$\sum_{n=1}^\infty z_n$收敛的充要条件是，对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N$，使得当$n > N$时，对任意的正整数$p \in \mathbb{N}^{+}$，总有 $$\left| \sum_{k = n+1}^{n+p} z_k \right| < \varepsilon.$$ 这也等价于对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N$，使得对任意两个$m > n > N$总有 $$\left| S_m - S_n \right| < \varepsilon.$$

上下节

• 上一节：Cauchy 积分公式
• 下一节：复函数项级数

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.